数学金融学第七章多时段市场问题1

长沙理工大学备课纸数学金融学第七章多时段市场问题第1页共41页第七章多时段市场问题本章的目的是在前两章单时段市场理论的基础上讨论多时段市场的有关问题.可以想象在多时段市场的投资中,不同时段上的投资策略是可以不同的,也就是说,投资策略是随时间变化的.因此,动态特性是多时段市场问题区别于单时段市场问题的一个标志.所以,除了单时段市场情形中所出现的问题外,讨论多时段市场问题的要点是体现其动态特性问题,读者应该记住这一点.在学习本章时,如果读者有随机过程和控制理论的初步知识,则会感到轻松一些.§7.1多时段市场的一般描述在这一节中,我们首先给出多时段市场一般的数学描述.一、测度论中一些基本概念及相关定理定义1.0设有限个离散时刻0,1,2,,k,设为一个有限集合(样本空间),F为的子集全体,P为,F上的一个概率测度.又设0,1,2,,iikF为的子集族,且012,kFFFFFF,(1.1)若对每个0,1,2,,ik子集族iF.满足下述条件:A,BAB;AA.iiiiFFFF(1.2)当(l.2)成立时,称iF为一个域,称(1.1)为一个域流.集合iF中的每个元素表示时刻i可能发生的一个事件.比如123A,,作为事件在时刻i发生,它表示在时刻i状态123,,之一发生,因此,iF称为时刻i的事件集.现在,我们来略微仔细地看一下域流(1.1)的一些性质和意义.定义1.0.1对每个0,1,2,,ik,存在的一个剖分12A,A,,AimiiiiFF,即1AA,,1,;A.ijliiimjijjlilm(1.3)使得AA|AA,AjjiiiiFF,(1.4)我们称上面的12A,A,,Aimiii为iF的生成元,称每个Aji为iF中的基本事件,于是,iF称为iF的生成元集或基本事件集.注1.0.2:当为一个有限集合时,对每一个iF均存在的一个剖分,该剖分包含在iF内且满足(1.4).▲(1.3)表明在任何时刻有且仅有一个iF中的基本事件发生.从这个角度看,我们可以得知上述基本事件集iF是由iF惟一确定的.进一步,由(1.1)和(1.4),我们还可得1111A,1,2,,;AA|AA,1,2,,.jiiijjjjiiiiiijmjmFF(1.5)上面(1.5)表明1iF的生成元集1iF是iF生成元集iF的加细,即iF中的每个元素均是一些1iF中元素的并集.为了理解它们的意义,我们举一个例子.长沙理工大学备课纸数学金融学第七章多时段市场问题第2页共41页例1.1考虑三个时刻:0,1,2,它们分别表示某个证券交易所某日的开盘时刻,前市收盘时刻(或中午)和当日全天收盘时刻，而时间区间[0,1]和[1,2]分别代表前市(上午)和后市(下午).设样本空间,其中状态具有下述意义:1234::::某股票价格在[0,1]上涨1元，且在[1,2]再涨1元；该股票价格在[0,1]上涨1元，但在[1,2]跌1元；该股票价格在[0,1]下跌1元，但在[1,2]涨1元；该股票价格在[0,1]下跌1元，且在[1,2]再跌1元。(l.6)它们可以看作是时刻2的基本事件.记0112342,;,,,,,;.的全体子集FFF(1.7)则012,,FFF构成一个域流.易见,事件12,就是该股票价格在[0,1]上涨1元;而事件34,就是该股票价格在[0,1]下跌1元,它们是时刻1的基本事件.相应于(1.7)中iF的生成元集如下:1001211121341234221222324,A;A,,A,;A,A,A,A,FFF(1.8)可见,1时刻的基本事件12,(即不该股票价格在[0,1]上涨1元)是2时刻两个基本事件1和2的并集.需要指出的是在任何时刻i实际发生的事件必定是某个基本事件.对上面的例子,我们作如下考察.在时刻t=0来预测时刻t=2的状态,共有4种可能:1234,,,.到了时刻t=1,假如事件12,已发生,则此时再预测时刻t=2的状态,只有两种可能了.所以,随着时间的推移,判断最终时刻事件发生的“确定性”增加了.我们让iF表示在时刻i人们能够获得的所有信息的全体。这个意思是人们可以在当前(时刻t=0)预测的所有在时刻t=i可能发生的基本事件.所以,iF中包含了一系列互不相容的基本事件Aji,其概率A0jiP是已知的.关系式(1.1)恰好表明随时间推移,人们可获得的信息越来越多.现在我们给定概率空间,,PF,并且给定一列时刻0,1,2,…和一个域流0iiF,每个iF对应于时刻i的事件集,此时.我们称0,,,iiPFF为一个带域流的概率空间.下面的讨论都基于这个框架,不再重复说明.并且,为了方便起见,我们假定每个iF的生成元集为12A,A,,AimiiiiF,并且A0jiP,1ijm(假如不然,我们可以去掉使得A0jiP的Aji所有的结果将保持不变).考虑一种债券.其价格是随着时间t变化的,并且由于人们无法确定将来的利率,从而债券价格一般而言还是随机的,这样,债券价格是,t的函数,,tBt.当对每个固定的,,tBt是一个随机变量时,我们称B为一个随机过程.为了叙述方便起见,我们设0,1,B,(1.9)长沙理工大学备课纸数学金融学第七章多时段市场问题第3页共41页并且,由于债券是“无风险”的,故应假设B关于时间t是单调上升的,即1,,1,0,BiBii,(1.10)令1,,,,0,,BiBiriiBi,(1.11)称,ri为债券在[i,i＋1]上的利率.由(1.9)和(1.11)可得0(1,)(,)[1(,)][1(,)]ijBiBirirj(1.12),ri一般是依赖于的,即它是随机的.这样考虑是有必要的,因为利率是不断变动的,而且,一般来说人们无法精确地断言将来的利率.但是,对任何一个给定的时刻i,以它为起始时刻的任何一种期限的利率在那个时刻应当是已知的.也就是说,基于i时刻的所有信息(即知道iF中所有基本事件是否发生),,ri是被确定的(不再随机).这在数学上可以如下描述:.定义1.1.1称,ri是一个iF-可测的随机变量,如果|,,iriaaRF,(1.13)称随机过程r是0iiF-适应的,如果(1.13)对所有的0i都成立.注1.1.2:设A,A1PF,,均是关于F-可测的随机变量.若,A,则我们可认为.下面我们就假设债券的利率过程r是0iiF-适应的。命题1.2假定iF为上的一个域,其生成元集为12FA,A,,Aimiii.设:R,则是iF-可测的充要条件是它在每个Aji上是常数.证明::设是iF-可测的,假如存在ˆ,Ajjji,使得对某个Ra,()()jja(1.14)则集合A|aiF,且具有下述性质:jiAA,(\)jiAA(1.15)若AA|AA,AAkkkjiiiiiF1.15AAji与AAji矛盾;若AAA|AA,AAAAAAjkkkjjjiiiiiiiiF与AAji矛盾.则A不可能有表示式(1.4).因此,AiF,从而不是iF-可测的,矛盾.:假如每个Aji上是常数,则对任何aR,集合NA|Ajija,其中N,A,1jjiijaajm,故AiF,从而,是iF-可测的.▲利用上面命题,我们可知当是1iF-可测时,它未必是iF可测的,其直观意义是存在当时刻到达i+1时才能知道而在此前并不知道的事件.从数学上讲,其原因是由于iF1iF,所以,长沙理工大学备课纸数学金融学第七章多时段市场问题第4页共41页可能存在生成元Aji1iF,即iF的生成元可能至少是两个1iF中的生成元之并.比如11AAA,jkliiiikl,此时,1kiAI是1iF-可测的,但它不是iF-可测的.另外,假如是0F-可测的,则是常数.因为0F.当iX为随机过程时,12,,,nXXXX称为一个向量值随机过程;12,,,nXXXX称为0iiF-适应的,如果每个iX是iF-可测的.由上面命题1.2,容易知道,我们有下面的推论.推论1.3向量值随机过程12,,,nXXXX为0iiF-适应的,当且仅当对每个i,iX在每个Aji上是一个常值向量.在下面的讨论中,我们还需要所谓的条件数学期望的概念.现在先让我们比较直观地引人这个概念.假定0,,,iiPFF为一个带域流的概率空间,假设每个域iF的生成元集为12A,A,,AimiiiiF,并且A0jiP1ijm.设是一个随机变量,它可能仅仅是F-可测的(未必关于任何iF-可测).在当前时刻t=0,人们对的预期就是普通的数学期望E.现在要问,在当前时刻t=0,怎么来预测在将来某个时刻t=i的数学期望?二、条件数学期望我们首先要说明,在将来某个时刻t=i的数学期望会依赖于时刻t=i的状态.为了说明这一点,我们来看一下例1.1中的情形.假定在0到1和1到2股票涨跌l元的概率均为1/2,则每个事件i发生的概率均为1/4.我们假定所考虑的股票目前价格为10元,而令为股票在时刻2的价格,则在当前时刻t=0,的期望为1(1210108)10()4E元假如当前时刻来预测1时刻的期望,则应该按如下方式考虑:(1)如果事件12,发生(即在时刻1,股价涨到11元),则的期望(它依赖于事件12,故记它为12|,E)将是121[|{,}](1210)112E（元）(2)如果事件34,发生(即在时刻1,股价跌到9元),则的期望(它依赖于事34,故记它为34|,E)将是341[|{,}](108)92E（元）所以,如果我们定义随机变量:R如下:12()()11,34()()9则由命题1.2,是1F可测的,并且它恰好是当前时刻预测将来时刻t=1时的期望.我们注意到,的确定已经用足了时刻的所有信息,即已知1F中的事件是否发生.因此,我们把称为关于1F的条件数学期望,记作1|EF.由于事件12,和事件34,发生的概率均为1/2,因此,11|119102EEEEF上述关系式并非偶然,它表明条件数学期望和数学期望之间的相容性.长沙理工大学备课纸数学金融学第七章多时段市场问题第5页共41页对于一般情形,我们引人下述定义.定义1.4对于给定的,我们称随机变量i为关于的条件数学期望,如果i是iF-可测的,并且对任何的AiF均有()()()()iAAPP(1.16)此时,我们记i=|iEF.很容易看到上面的例子中的就满足(1.16),建议读者自行验证一下,由此获得一些感性认识.需要提请读者注意的是,条件数学期望是依赖于概率空间上的域流和概率测度的.下面的结果给出了条件数学期望的具体计算公式.命题1.5假定0,,,iiPFF为一个带域流的概率空间,假设每个域iF的生成元集为12A,A,,AimiiiiF,并且