数学金融学第五章单时段证券市场1

长沙理工大学备课纸数学金融学第五章单时段证券市场第1页共34页第五章单时段证券市场从这一章开始我们讨论离散时间框架下的数学金融学问题.在本章我们考虑单时段市场模型.我们可以做这样的假设,在某个时刻,我们姑且称作时刻0,一个投资者进入市场投资,比如买卖债券或股票,然后一直持有不变,直到某个时刻的到来,姑且称做时刻1,他退市并进行核算.这个过程可以近似看作一个单时段市场中的投资问题.这种市场结构相对简单,研究起来相对容易,并且几乎所以重要的数学金融问题都可以在单时段市场中出现.应此深入研究单时段市场有其重要的意义.§5.1单时段市场模型本节讨论单时段市场的不贴现和贴现的数学模型.一、基本概念我们记mR为m维欧氏空间,nmR为nm(实)矩阵全体,且定义11,,,0,1;,,,0,1;ˆ\0.TmmmiTmmmimmRxRxxxximRxRxxxximRR(1.1)我们可以类似地定义nmR,nmR和nmR.定义1.1设两个时刻1,0t.假定在时刻0t预测时刻1t时(市场)有m种可能发生地情，形.(i)称这m种情形为状态,记作m,,1;(ii)称集合m,1为一个样本空间;(iii)设F为的子集全体构成的集合(:AAF),称,F为一个可测空间.(iv)若①0P;②01PA,AF;③F中任一列互斥的12,,AA,有11nnnnPAPA则称P为可测空间,F上的一个测度(概率测度),称,,PF为一个测度空间(概率空间).注:●(1)F至多包含有限个元素及,F;(2)F是一个域(代数)────①对AF,有AF;②1,1nnnAAnFF.●11miiP.(1.2)在本章讨论中,我们总假设miPi1,0;令12,,,TmmPPPRP;(1.3)另外,任何一个函数X:R称为一个随机变量.对于任何这样的随机变量,我们定义它的均值(mean,也称数学期望,mathematicalexpectation)为[]TEXXPPX.(1.4)其中12,,,TmmXXXRX,称X为随机变量X的状态.长沙理工大学备课纸数学金融学第五章单时段证券市场第2页共34页假定市场有一种债券上市交易(也常常将它看作银行存款),该债券价格过程B满足01,(1)1BBr,(1.5)此处,r表示该债券的利率.假定市场中还有n种股票上市交易,这些股票价格过程记为12,,TnSSSS.假定在时刻0t,股票价格0nRS,0S是已知的,而将来时刻1t时的股票价格(1)1,SS是一个nR值的随机变量,视不同的状态,它取不同的值.当上述的,,,,PBSF给定时,我们称一个单时段得市场被给定.有时我们记,,,,MPBSF,称之为一个单时段市场.在本章中,我们恒假定上述的单时段市场是给定的.设一个投资者在时刻0t拥有存款0z,并持有第i1in种股票iz股,那么,他的初始资产(记为0V)为00100niiiVzBzS(1.6)下面,考虑一个投资者,他在时刻0t入市,初始资产为0V,在时刻1t计算其损益.定义1.2(i)称01,,TnnzzzRRZ为一个交易策略(tradingstrategy),也称之为一个证券组合(portfolio);(ii)当初始资产0V满足(1.6)时,称策略Z与初始资产0V是相容的.二、单时段市场的数学模型1.单时段市场不贴现的数学模型定义1.3(i)称001,,,,,0,1nTiiiVtVtBtzStzBtzttZZSz(1.7)为证券组合0,TnzRRZz的不贴现价值过程,其中1,TnnzzRz,0,0SS;(ii)称,1,,0;GGVVZZZZ0101,0TBBzSSz00TTrzrzSzSz,(1.8)为交易策略Z的不贴现增益(过程),其中,1,0SSS.记111111,1,1,11,1,1,TnmnTmnmmSSRSSSSS,(1.9)1111111,01,01,01,0nnmnmnSSSSSSSSS110TmnRSS,(1.10)长沙理工大学备课纸数学金融学第五章单时段证券市场第3页共34页其中11,1,,1TnR,(有时1表示nR中的类似向量,见下式从上下文,不难看出它应属的空间),于是,可得到单时段市场不贴现的数学模型:1.51.601.71.901.81.1000,01,0;1,11111,1;1.111.TTmmVzzRzBBRrzRZSSZVZzZGZzSSS(1.12)2.单时段市场贴现的数学模型现在我们将存款作为计价单位(numeraire),即以它作为度量单位,引人贴现股价过程:11,,,,,,,,TntStStStttBtBtBtBtSSS,0,1;t.(1.13)需要注意的是0,0SS,是确定的nR中向量,而1,S是nR值的随机变量,证券组合Z的贴现价值过程定义为0,,,,,,TVtVtVtztBtZZZSz.(1.14)相应的贴现增益(过程)定义为,1,,0,GVVzZZ1,0TTTSSzSzSz,(1.15)其中1,0TSSSS.111111,1,1,11,1,1,TnmnTmnmmSSRSSSSS(1.16)和1111111,01,01,01,0nnmnmnSSSSSSSSS110TmnRSS,(1.17)由(1.14)、(1.15)、(1.16)和(1.17)可得单时段市场贴现的数学模型:000,0;1,11;.TmmVzRzRRZSzVZzGzzSS(1.18)值得注意的是Gz仅仅依赖于1,Tnzzz,而不依赖于0z.现在,让我们给出一个例子,以便对上面叙述的概念加深一些印象.例1.1设1,2nm,并假定1111212040,05,1,,1,939rSSS,则91011rB,11111,1,61SSB,12121,1,41SSB,长沙理工大学备课纸数学金融学第五章单时段证券市场第4页共34页对任何交易策略01,TzzZ,我们有1.6011010005VVzSzzz,0111.70110121020,;10931,,1,10409,.99zzVzSzzzZ1.140110110126,;1,,1,,1,4,.1zzVVzSzzzBZZ0111.8011101215,;193,1,0159,.99zzGzSSzzzZ1.151111112,;,1,0,.zGSSzzZ▲§5.2占优策略上一节中,我们引人了单时段市场的一个模型.在这一节中,我们来研究这个市场的一些内蕴性质,为此,我们先引人下述定义.一、占优策略的概念定义2.1交易策略ˆnRRZ,称为是一个占优策略(dominantstrategy),如果存在另一个交易策略nRRZ使得ˆ0,0,;ˆ1,,1,,,.VVVVZZZZ(2.1)从上面定义看，如果ˆnRRZ是一个占优策略,则它至少比另一个交易策略nRRZ绝对地好.即在时刻1t,无论什么状态发生,其收益均严格地优于另一个.下面的结果给出了市场中具有占优策略的特征刻画.二、占优策略的存在性的几个等价条件定理2.2下述命题是等价的:(1)市场存在占优策略；(2)存在交易策略nRRZ使得0,0;1,,0,.VVZZ(2.2)(3)存在交易策略0nzRRZz,使得,0,Gz(2.3)(4)存在交易策略nRRZ,使得长沙理工大学备课纸数学金融学第五章单时段证券市场第5页共34页0,0;1,,0,.VVZZ(2.4)证明:12:“”:设0ˆˆˆnzRRZz为一个占优策略,则存在0nzRRZz,使得(2.1)成立.令ˆZZZ,则有ˆ0,0,0,0VVVZZZ,(2.5)且1.700ˆˆ1,,11,TVBzzZSzz00ˆˆ11,11,TTBzBzSzSz2.1ˆ1,,1,,0,VVZZ,(2.6)从而(2)成立.:设存在交易策略nRRZ使得0,0;1,,0,.VVZZ,令ˆ2ZZ,则ˆ0,20,0;1,,221,,1,,,.VVVVVZZZZZ故,交易策略ˆZ较Z占优,从而(1)成立.32:由(2),存在交易策略0nzRRZz使得(2.2)成立,从而,0,0,0VVZZ,2.21,,1,,0,1VVBZZ,(2.7)因此，,1,,0,0,GVVzZZ,(2.8)得证(3).43:设0nzRRZz满足(2.3),定义0ˆˆˆ,nzRRZz如下:0ˆˆ0min,,TzGzzzz*S,(2.9)则有1.142.30ˆˆˆˆ0,0,0min,0TVVzzGZZz*S,(2.10)且1.15ˆˆˆ1,,0,,VVGZZzmin,,0,GGzz,(2.11)故,ˆˆ1,,11,,0,VBVZZ,(2.12)得证(4).24:设存在交易策略nRRZ,使得(2.4)成立,即长沙理工大学备课纸数学金融学第五章单时段证券市场第6页共34页1.601.700,00;1,,11,0,.TTVzVBzZSzZSz(2.13)现在定义0ˆˆˆ,nzR