九年级数学胡不归与阿氏圆

努力的你，未来可期!拼搏的你，背影很美！最值问题“AP+k•PB”最小值模型一胡不归型（“AP+k•PB”型）（动点P在直线上运动）例题1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=600，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，则AM+21BM的最小值.例题2.如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP＋BP＋CP的最小值为_______总结：第一步：将所求线段和改写为PBmnPA的形式（mn＜1）第二步：在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=mn第三步：过A作第二步所构造的角的一边垂线，该垂线段即为所求最小值第四步：计算（本步骤最难）变式练习1、如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC＝6，∠ABC＝150°，则线段AP＋BP＋PD的最小值为2.如图，在ACE中，CA=CE，CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上。（1）试说明CE是⊙O的切线。（2）若ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示⊙O的直径AB;（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当21CD+OD的最小值为6时，求⊙O的AB的长。（3）如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为_______（4）.二次函数cxaxy22图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，-3）。（1）a，c；（2）如图①，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求PCPD2的最小值。ABCDP努力的你，未来可期!拼搏的你，背影很美！（3）如图②，点M在抛物线上，若3MBCS△，求点M的坐标。模型二阿氏圆型（“AP+k•PB”型）（动点P在圆上运动）阿氏圆基本解法：构造相似(且一般为子母型相似)阿氏圆一般解题步骤：PCkPD（这个式子姑且称为阿圆问题的一般式，有时需要提取系数转化成一般式）第一步：连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；第三步：计算这两条线段长度的比OPmOD；第四步：在OD上取点M，使得OMmOP；第五步：连接CM，与圆O交点即为点P．例题一向内构造类型1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，12APBP最小值__________.13BPAP最小值__________.xyxyM努力的你，未来可期!拼搏的你，背影很美！CBAPCBAPCDAPEB(第1题)（第2题）（第3题）2、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则22PAPC的最小值是．3、如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60°，⊙A与BC相切于点E，在⊙A上任取一点P，则32PBPD的最小值为．4．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC=1，BD=2，P为上一动点，求PC+PD的最小值______________．5、（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求12PDPC的最小值，24PDPC的最小值，12PDPC的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求23PDPC的最小值,23PDPC的最大值,23PCPD的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为,2，点P是圆B上的一个动点，求12PDPC的最小值和12PDPC的最大值．36PCPD的最小值DACDACDABBBPPPC图1图2图3变式练习一：1.如图，已知AC=6,BC=8,AB=10,○C的半径为4，点D是○C上的一个动点，连接AD，BD，则12ADBD努力的你，未来可期!拼搏的你，背影很美！的最小值_________.23BDAD的最小值_______2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点D是△ABC内一动点，且满足CD=2,则23ADBD的最小值____________.12BDAD的最小值_______3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3,CB=4.○C的半径为2，点P是○C上一动点，则12APBP的最小值______________23PBPA的最小值_______CABDBCADCABP4.如图，○O的半径为2，PO=10,MO=2,∠POM=90°，Q为○O上一动点，则PQ+22QM的最小值____________.55MQPQ的最小值_______5.如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，○B的半径为2，P为○B上一动点，则PD+12PC的最小值_______.36PCPD的最小值_______6.在△ABC中，AB=9,BC=8,∠ABC=60°，○A的半径为6，P是○A上一动点，连接PB,PC，则3PC+2PB的最小值_____________67373PBPC的最小值_______努力的你，未来可期!拼搏的你，背影很美！OMPQDCBAPBACP例题2向外构造类型1.如图点A,B在○O上，OA⊥OB，OA=OB=12,点C是OA的中点，D在OB上，OD=10,点D是○O上一动点，则2PC+PD的最小值________,PC+65PD的最小值_________.2.如图，在扇形CAB中，CA=4,∠CAB=120°，D是CA的中点，P是弧BC上一动点（不与C,B重合），则2PC+PB的最小值______CBOADPDBCAP变式练习21.如图○O的半径是2，AB是直径。过AO的中点C做CD⊥AB交○O于D,DE为○O的直径，点P为○O上的动点，则2PC+PE的最小值_______2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,○C的半径为2，D是○C上一动点，点E在CB上，CE=1,连接AD,DE,则122ADDE的最小值_______3.如图,在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，5为半径的圆与两坐标轴分别交于A,B两点，D是弧AB上一动点,则BD+102OD的最小值______.4如图，在平面坐标系中，A(-2,0),B(0,1),C(0,3),以O为圆心，OC为半径画圆，P为○O上一动点，则32PA+PB的最小值__________努力的你，未来可期!拼搏的你，背影很美！EDCBOAPEACBDxyABCODxyCBAOP5.如图抛物线223yxx与x轴交于点A,B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，○D过A,B,C三点，P是○D上一动点，连接PO,PC则2PC+5PO的最小值______xyDBACOP