数字信号处理_笔记

数字信号处理学习笔记第二章：离散时间信号和离散时间系统————一些概念加知识点总结信号：载有信息的函数，一般表示为一个或多个自变量的函数。例如语音信号表示为时间的函数，图像信号表示为两个空间的亮度函数。连续时间信号：信号在整个连续的时间集合上都有定义，称为连续信号。信号幅度可以是离散或连续的。反之，则称为离散时间信号（在离散的时间点上才有定义的信号，幅度可连续也可离散）。系统：系统的作用就是对信号换成某种符合要求的形式，对信号按一定要求进行处理。模拟信号：时间连续，幅度也连续的信号。数字信号：时间离散，幅度也离散的信号。连续时间系统：输入和输出都是连续时间信号的系统。离散时间系统：输入和输出都是离散时间信号的系统。模拟系统：输入和输出都是模拟信号的系统。数字系统：输入和输出都是数字信号的系统。在连续时间系统中，信号用连续时间函数来表示。序列x(n)只有n取整数时有定义，n为非整数时没有定义，将其想像为0是不正确的；在离散时间系统中，信号用离散时间的数字序列表示。基本的离散时间序列有：1单位取样（离散冲激）序列：在n=0处取值为1，在其他离散时间点处取值为0；2：单位阶跃序列。在n=0时取值为1，其他值取值为0；3：矩形序列。表示为RN(n)，当0=n=N-1时取值为1，其他取值为0；4：实指数序列。X(n)=an5：当a为复数时，为复指数序列6：正弦序列。X(n)=Acos(wn+θ)其中w为数字频率，若模拟角频率为Ω，正弦序列是由模拟序列抽样得到的，则w=T*Ω=2π*f/fs。w又称为归一化频率，其单位为弧度。对模拟角频率Ω和数字角频率的理解：①连续时间信号自变量为时间t，离散时间信号自变量为取样点的序号n。因而w表示相邻两个取样点之间的相位差的弧度数。②数字频率w与取样频率sf有关的频率度量，是模拟频率f用取样频率归一化后的弧度数。数字频率不同的两个正弦序列，在时域内的波形可以完全相同，不存在一一对应的关系。w具有周期性。模拟域中，不同的频率对应着不同的模拟信号，存在一一对应的关系。欧拉公式：正弦序列用复指数序列表示：7：周期序列。存在N，满足X(n)=X(n+N)考点：正弦周期序列的判断。条件Nw=2πk，当k为1时，N为最小正周期N=2π/w。技巧：2π/w为有理数即为周期序列，为无理数则为非周期序列。序列的能量：2n)(nnx信号的归一化能量，即在1Ω电阻上产生的能量。序列的运算：相加，相乘，移位（延迟），任何序列都可表示为：kkknkxnx)()()(线性非移变系统（LSI系统）：线性系统：满足叠加定理的系统称为线性系统。用T[]表示系统的变化。)]([)(nxTny则有：)](1[)(1nxTny和)](2[)(2nxTny证明为线性系统，需证)(2)(1)](2[)](1[)](2)(1[nbynaynxbTnxaTnbxnaxT非移变系统：系统的响应输入信号施加于系统的时间无关。证明需满足：若，)()]([nynxT则)()]k([knynxT)]([nxT的自变量为)(nx，而)(ny的自变量为n。)]([nxT侧重点在于)(nx，)(nx变为)k(nx，则将)k(nx替换为*)(nx带入原式。而)(ny的侧重点在n。举例说明：有)()()]([nxngnxT则：)()()]([knxngknxT但是，)()()k(knxkngny，既有)]([knxT)k(ny。所以，系统不具有移不变性。线性非移变系统：既满足叠加原理，又，满足非移变条件的系统。线性非移变系统输入为单位取样序列时，输出为单位取样响应。该系统的输出)()()(nhnxny与冲激响应的卷积。若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和的长度L为：L=N+M-1离散卷积满足的性质有：1：交换律)()()(nxnhny与)()()(nhnxny等价2：结合律)(2)](1)([)(nhnhnxny转换为)](2)(1[)()(nhnhnxny3：分配率还需补充些性质计算卷积过程)()()(nhnxny一：折叠。将h(n)以纵坐标对称。二：移位。将h(-k)移位得到h(n-k)三：将x(k)与h(n-k）对应的取样值相乘。四：将所有的乘积结果相加，得到y(n)。系统的稳定性和因果性：稳定系统：对于每个有界输入x(n)都产生有界输出y(n)的系统，即如果|x(n)|=M常数，则|y(n)|无穷。稳定充要条件：单位取样响应h(n)绝对可和，即nnnh|)(|当)(nh比较难求时，可以通过假定输入序列)(nx为一常数或者啥的，再看输出是不是收敛。因果性：即系统的输出只取决于现在和过去的输入。反之则为非因果系统。充要条件：0,0)(nnh即单位取样响应为因果序列。线性常系数差分方程：描述线性非移变系统。如：)1()()1()(ncxnbxnayny①注：对方程两边求Z变换，可得系统函数。②由差分方程求冲激响应。解法：令)()(nnx，再递推出系统的输出函数，即得)(nh离散时间傅里叶变换DTFT差分方程的阶数：方程y(n-i)项中i的取值最大与最小之差。差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。1离散时间傅里叶变换的定义njnnjenxeX)()(为序列x(n)的傅里叶变换，用DTFT表示。DTFT成立的充分必要条件是序列x(n)绝对可和，即满足式：DTFT反变换为：njwnjwenheH)()(为系统的频率响应。)(nh为实数时，系统的幅度响应|)(|jweH在20w是偶对成的，相位响应)](arg[jweH是奇对称的。当输入为复指数序列njw0e时，对应输出为)e(e)(00jwnjwHny。另外，输入为正弦序列时，也可以先将其转换为复指数序列，再根据此方法求得输出。对于不绝对可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。具体解法：先求傅里叶级数，将原式变换为复指数形式，再求其离散傅里叶变换。？？？复指数序列与正弦序列的关系：欧拉公式：)sin()cos(wnjwnejwn)sin()cos(wnjwnejwn2)cos(jwnjwneewnjeewnjwnjwn2)(sin正弦序列的傅里叶变换为冲激函数之和：？？？？复指数序列的傅里叶变换为冲激函数之和：？？？？DTFT的性质及与连续时间信号的关系：①DTFT具有周期性，通常研究±π或0~2π之间的DTFT。②运算性质：一：线性二：时移与频移设X(ejω)=FT[x(n)]，则：三：时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)由此得到求输出序列的又一解法：将输入序列的傅里叶变换与系统频率响应相乘，对结果再取傅里叶逆变换。四：频域卷积定理设y(n)=x(n)·h(n)，则：deHeXeHeXeYwjjjwjwjw)()(21)()(21)()(五：帕斯维尔(Parseval)定理知识点：散时间傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系？？？查资料，比较多就不写了频谱进行周期延拓，乘以系数乘以T1混叠现象：当采样频率小于信号最大频率的两倍时，对连续时间信号采样后的离散时间信号的频谱将会重叠，重叠部分的频率成分的幅值与原信号不同。原信号不是带限信号，混叠现象一定存在。解决措施：采样频率应该足够高，如实际工程应用中，采样频率应为输入信号最大频率的3-5倍。离散时间信号)(nx的频谱)(jweX和取样信号)(xta的频谱)(jXa之间的关系：)(|)(jXeXaTwjw将经采样后的离散时间信号重建恢复为原来的模拟信号：让取样信号通过一个截止频率为2/s的理想低通滤波器，就可以将取样信号频谱中的基带频谱取出来，恢复为原来的模拟信号。Z变换相关知识点：)()()(nhnxny)(zY)()(zHzXY(z)的收敛域理论上是X(z)和H(z)的重叠部分，但若在收敛域边界上一个z变换的零点与另一个z变换的极点抵消的话，则收敛域可能会扩大。Z变换的定义：nnZnxZX)()(其中Z为一个复变量。jwsSTZe11221212()[()],()[()],[()()]()()jjjjXeFTxnXeFTxnFTaxnbxnaXebXe0000([()]()[()]()jnjjnjFTxnneXeFTexnXe求正弦序列)(coswn的Z变换时，将)cos(wn转换为指数序列2)(cosjwnjwneewn。关于S域向Z域的映射问题：首先，该映射为多值映射。①S平面上宽度为T2的水平带映射到整个Z平面，左半带映射到单位圆内部，右半带映射到单位圆外部。②长度为T2的虚轴映射成为单位圆。③S平面可以划分为无线条宽度为T2的水平带，所以S平面可以被映射为无限多个Z平面。④=0(s平面平行于实轴的直线)=0T(z平面始于原点，辐角为0T的辐射线)关于Z变换，考点有：①给出一个序列，求其Z变换。解法：按定义求解即可。②求Z变换的收敛域问题。等效为就幂级数的收敛域。解法：1定义：Z的模||Z要求满足|)(|nnrnx2：由基本Z变换求得收敛域。3：根据序列的形式(有限长，左边，双边，右边)，极点，大致判断收敛域的范围。③求Z变换的逆变换。解法：一：幂级数法：用现有的公式将X(z)展开为泰勒级数，观察可求得X(n)。二：结合常见序列的Z变换，通过因式分解得出原序列，注意收敛域的范围。将原Z变换进行因式分解得到多个分量，|Z|R表示右边序列，且)(limzxz为有限值，则序列为因果序列。|Z|R表示左边序列，且)(0limzxz为有限值，则序列为逆因果序列。常见序列的Z变换有：？？？自己查资料补全。Z变换的性质和定理有：？？？自己查资料补全。系统函数H(Z)定义为：nnZXZYznhzH)()()()(①对差分方程两边求Z变换，再移向可得H(Z)。（结合Z变换的移位性质）②对频率响应)(jweH，将jwe替换为Z即可③对冲激响应)(nh求Z变换可得考点：1：根据系统函数画零极点图，确定收敛域。2：判断系统的稳定性，极点与单位圆的关系和系统是否为因果系统。系统收敛域包含单位圆，则系统稳定。3：求系统的频率响应。将H(Z)求出后，将Z替换为jwe即可。4：根据零极点分布图画幅度响应和相位响应图。思考题部分：2.7IIR和FIR差分方程IIR存在反馈回路，即有)(kny，而FIR不存在)(kny项。无限脉冲响应滤波器是数位滤波器的一种，简称IIR数位滤波器(infiniteimpulseresponsefilter)。由于无限脉冲响应滤波器中存在反馈回路，因此对于脉冲输入信号的响应是无限延续的。有限脉冲响应滤波器是数字滤波器的一种，简称FIR数字滤波器（finiteimpulseresponsefilter）。这类滤波器对于脉冲输入信号的响应最终趋向于0，因此是有限的，而得名。它是相对于无限脉冲响应滤波器(IIR)而言。有限脉冲响应滤波器（FIRfilter）的优点：1.脉冲响应（impulseresponse）为有限长：造成当输入数位讯号为有限长的时候，输出数位讯号也为有限长。2.比无限脉冲响应滤波器（IIRfilter）较容易最佳化（optimize）。3.线性相位（linearphase）：造成h(n)\,是偶对称（even）或奇对称（odd）且有限长。4.一定是稳定的（stable）：因为Z转换（Ztransform）后所有的极点（pole）都在单位圆内。有限脉冲响应滤波器（FIRfilter）的缺点：设计方式较无限脉冲响应滤波器（IIRfilter）不容易。无限脉冲响应滤波器(IIRfilter)的优点：较容易