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第15章轴对称图形与等腰三角形（复习题教材P149-153）沪科版八年级数学第15章轴对称图形与等腰三角形复习题1.已知：点A(a，b)与点B(c,d).（1）如果点A,B关于y轴对称，那么a,b,c,d应满足什么条件？（2）如果点A,B关于x轴对称，那么a,b,c,d应满足什么条件？答：（1）a=-c,b=d.（2）a=c,b=-d.2.直线与直线y=2x关于y轴对称，写出直线所表示的函数表达式.ll答：y=-2x3.已知：如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AC=2AB,点D是AC的中点.ΔEAD为等腰直角三角形，∠AED=90°.试猜想线段BE和EC的关系，并证明你的猜想.CBDAE猜想：BE=EC,BE⊥EC.证明：∵AC=2AB,点D是AC的中点，∴AB=DC,又∵ΔEAD为等腰直角三角形，∴AE=DE,∠EAD=∠EDA=45°，∴∠CDE=135°∵∠BAC=90°，∴∠BAE=∠BAC+∠EAD=135°，∴∠BAE=∠CDE,在ΔABE和ΔDCE中AB=DC∵∠BAE=∠CDEAE=DE∴ΔABE≌ΔDCE∴BE=EC,∠AEB=∠DEC,∵∠AED=90°,∴∠BEC=90°,∴BE⊥EC.4.已知：ΔABC中，AB=AC,AD是BC边上中线，AB的垂直平分线交AD于点O,∠B的平分线交AD于点Ｉ.求证：（1）OA=OB=OC;（2）点Ｉ到BC,CA,AB的距离相等.•ODCBAＩ┐EGF证明：（1）∵OG是AB的垂直平分线，∴OA=OB,又∵AB=AC,AD是BC边上的中线，∴AD是BC边的垂直平分线，∵点O在AD上，∴OB=OC,∴OA=OB=OC.（2）∵AB=AC,AD是BC边上的中线，∴AD是∠BAC的平分线，又是BC边上的高，∵OB平分∠ABC,ＩE⊥AB,ＩF⊥AC,∴ＩE=ＩF=ＩD,即：点Ｉ到BC,CA,AB的距离相等.5.已知：如图，AD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂足.求证：AD垂直平分EF.BCDFEA证明：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠EAD=∠FAD,∠AED=∠AFD=90°，在ΔAED和ΔAFD中，∠EAD=∠FAD,∵∠AED=∠AFD，AD=AD,∴ΔAED≌ΔAFD,∴AE=AF,DE=DF,∴点A,D都在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF.O6.已知：如图，ΔABC是等边三角形，BD是中线.点E在BC的延长线上，使CE=CD.求证：DB=DE.ECBDA证明：∵ΔABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD是中线.∴BD又是∠ABC的平分线，∴∠DBC=30°，∵CE=CD,∴∠E=∠CDE,又∵∠ACB=∠E+∠CDE=60°，∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E,∴DB=DE.7.求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形.已知：如图，ΔABC中，BD,CE分别是AC,AB边上的高，且BD=CE.求证：ΔABC是等腰三角形.CBA证明：∵BD,CE分别是AC,AB边上的高，∴∠ADB=∠AEC=90°，在ΔABD和ΔACE中，∠A=∠A,∵∠ADB=∠AEC,BD=CE,∴ΔABD≌ΔACE,∴AB=AC,∴ΔABC是等腰三角形.8.已知：如图，ΔABC中，AD是BC边上的高，AB=AC,∠BAC=120°，垂足分别是E,F.求证：DE+DF=BC.FEBCDA证明：∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=½BD,DF=½DC,∴DE+DF=½BD+½DC=½BC.219.已知：如图，在ΔABC中，AB=AC,∠A=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证：BF=2CF.FEBCA证明：连接AF,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∵EF是AC的垂直平分线，∴AF=CF,∴∠FAC=∠C=30°，∴∠BAF=90°，∴BF=2AF,∴BF=2CF.10.已知：如图，AD⊥DE,BE⊥DE,AC,BC分别平分∠DAB,∠ABE,点C在线段DE上.求证：AB=AD+BE.DBECA┐F证明：过C作CF⊥AB,垂足为F,又∵⊥AD,CE⊥BE,AC平分∠DAB,BC平分∠ABE,∴CD=CF=CE,在RtΔACD和RtΔACF中，AC=AC,CD=CF,∴RtΔACD≌RtΔACF,∴AF=AD,在RtΔBCE和RtΔBCF中，BC=BC,CE=CF,∴RtΔBCE≌RtΔBCF,∴BF=BE,∴AB=AF+BF=AD+BE.11.已知：如图，在ΔABC中，∠A=90°，AB=AC,点D在BC上，BD=AB,作DE⊥BC,点E在边AC上.求证：（1）BE平分∠ABC;（2）AE=ED=DC.CDEAB┐证明：(1)在RtΔABE和RtΔDBE中，BE=BE,AB=DB,∴RtΔABE≌RtΔDBE,∴∠ABE=∠DBE,∴BE平分∠ABC;(2)∵∠A=90°，AB=AC,∴∠C=45°，又∵DE⊥BC,∴∠DEC=∠C=45°，∴ED=DC,∵RtΔABE≌RtΔDBE,∴AE=ED,∴AE=ED=DC.12.已知：如图，在ΔABC中，以它的边AB,AC为边，分别在形外作等边三角形ABD,ACE,连接BE,DC.求证：BE=DC.EDCBA证明：∵ΔABD和ΔACE都是等边三角形，∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAE=∠DAC,在ΔABE和ΔADC中，AB=AD,∵∠BAE=∠DAC,AE=AC,∴ΔABE≌ΔADC,∴BE=DC.13.已知：如图，线段CD与∠AOB,通过作图求一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB两边的距离相等.OBDCA•14.已知：如图，RtΔABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C与边AB上的点D重合.要使D恰好为AB的中点，问还需增加一个什么条件？说明你增加的条件及依据.ABDEC可以增加：∠A=30°或BC=½AB,或∠ABC=60°，或∠ABC=2∠A.理由：∵∠C=90°，∠A=30°，∴BC=½AB,由折叠可知BC=BD=½AB,∴D为AB的中点.1.根据下列点的坐标的变化，判断它们进行了怎样的变换？（1）（-3，-1）（3，-1）；（2）（-5,6）（-5，1）；（3）（4，3）（4，-3）；（4）（2，-3）（3，-2）.答;：(1)关于y轴对称（或沿x轴方向向右平移6个单位）.(2)沿y轴方向向下平移5个单位(或关于直线y=3.5x对称).(3)关于x轴对称（或沿y轴方向向下平移6个单位）.(4)关于直线y=-x对称（或先沿x轴方向向右平移1个单位，再沿y轴方向向上平移1个单位）.2.BD是ΔABC的角平分线，BD的垂直平分线交CA的延长线于点E.求证：∠EAB=∠EBC.EDCBA证明：∵E在BD的垂直平分线上，∴EB=ED,∴∠EBD=∠EDB,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,又∵∠EAB=∠EDB+∠ABD,∠EBC=∠EBD+∠DBC,∴∠EAB=∠EBC3.已知：O是线段AB的中点，直线MN经过点O,点C,D在直线MN上，∠1=∠2=45°.（1）若点C与点O重合[图(1)],请直接写出AC与BD的数量关系和位置关系；（2）若点C,D不重合[图(2)],求证：AC=BD,AC⊥BD.CONANMDO(C)BAMDB2112（1）AC=BD,AC⊥BD.3.已知：O是线段AB的中点，直线MN经过点O,点C,D在直线MN上，∠1=∠2=45°.（2）若点C,D不重合[图(2)],求证：AC=BD,AC⊥BD.CONAMDB21E证明：过B作BE//AC,交MN于点E,∴∠A=∠OBE,又∵O是线段AB的中点，∴OA=OB,在ΔOAC和ΔOBE中，∠A=∠OBE,∵∠AOC=∠BOE,OA=OB,∴ΔOAC≌ΔOBE,∴AC=BE,∠OCA=∠OEB,∴∠1=∠BED∴∠BED=∠2∵∠1=∠2=45°，∴∠2=∠BED=45°，∴BE=BD,∠DBE=90°，∴AC=BD,BE⊥BD∵BE//AC,∴AC⊥BD4.已知：如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，D,E是边AB上的两点，且AD=AC,BE=BC.求证：∠DCE=45°.ACEDB证明：∵AD=AC,BE=BC,∴∠ACD=∠ADC,∠BEC=∠BCE,又∵∠A+∠ACD+∠ADC=180°，∠B+∠BEC+∠BCE=180°，∴∠A+2∠ACD=180°，∠B+2∠BCE=180°，∴∠A+∠B+2∠ACD+2∠BCE=360°，∴∠A+∠B+2∠ACD+2∠BCD+2∠DCE=360°，∴∠A+∠B+2∠ACB+2∠DCE=360°，又∵∠ACB=90°,∠A+∠B+∠ACB=180°，∴2∠DCE=90°，∴∠DCE=45°.5.已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AC上，点E在边AB的延长线上，使BE=CD,DE交BC于点P.求证:PD=PE.ABEPDCF证明：过D作DF//AB交BC于F,∴∠CDF=∠A,∠CFD=∠CBA,∠FDP=∠E,又∵ΔABC是等边三角形，∴∠A=∠CBA=∠C=60°，∴∠C=∠CDF=∠CFD,∴ΔCDF是等边三角形，∴CD=FD,∵BE=CD,∴FD=BE,在ΔFDP和ΔBEP中，∠FDP=∠E,∵∠DPF=∠EPB,FD=BE,∴ΔFDP≌ΔBEP,∴PD=PE.6.（1）已知：如图（1），在ΔABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O的直线DE//BC,DE分别与AB,AC交于点D,E.求证：BD+CE=DE.CBEODA(1)证明：∵DE//BC,∴∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠OCB,又∵OB平分∠ABC,OC平分∠ACB,∴∠OBD=∠OBC,∠OCE=∠OCB,∴∠DOB=∠OBD,∠EOC=∠OCE,∴BD=DO,CE=OE,∴BD+CE=DO+OE,∴BD+CE=DE.（2）将（1）题条件“∠ACB的平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，如图（2）所示.原来的关系式BD+CE=DE还成立吗？如果不成立，你能推断出BD,CE,DE存在的数量关系式吗？请证明你的推断.CBOEDA答：不成立.BD-CE=DE.证明：∵DE//BC,∴∠DOB=∠OBC,∠EOC=∠OCF,∵OB平分∠ABC,OC平分∠ACF,∴∠OBD=∠OBC,∠OCE=∠OCF,∴∠DOB=∠OBD,∠EOC=∠OCE,∴BD=DO,CE=OE,∴BD-CE=DO-OE,∴BD-CE=DE.F1.已知：等腰三角形ABC中，AB=AC.（1）P为底边BC上任一点，自点P向两腰作垂线PE,PF,点E,F为垂足.求证：PE+PF等于定值；（2）若点P在底边BC延长线上时，情况如何？FEPBAC证明：连接AP,设腰上的高为h1,由SΔABC=SΔPAB+SΔPAC,得½AB•PE+½AC•PF=½AB•h1.又∵AB=AC,∴PE+PF=h1.故，PE+PF等于定值.1.已知：等腰三角形ABC中，AB=AC.（1）P为底边BC上任一点，自点P向两腰作垂线PE,PF,点E,F为垂足.求证：PE+PF等于定值；（2）若点P在底边BC延长线上时，情况如何？FEPCBA证明：连接AP,设腰上的高为h1,由SΔABC=SΔPAB-SΔPAC,得½AB•PE-½AC•PF=½AB•h1.又∵AB=AC,∴PE-PF=h1.故，PE-PF等于定值.如果，点P在底边CB延长线上时，有PF-PE=h1.2.已知：等边三角形ABC.（1）P为ΔABC内任一点，自点P向三边作垂线PD,PE,PF,点D,E,F为垂足.求证：PD+PE+PF等于定值；（2）若点P在ΔABC外时，情况如何？PDFECBA┐证明：连接PA,PB,PC,设等边ΔABC的高为h,由SΔABC=SΔPAB+SΔPBC+SΔPAC，得½AB•PD+½BC•PE+½AC•PF=½BC•h.又∵AB=BC=AC,∴PD