导数与函数的最大值与最小值

函数的最大值与最小值陈灼星一、复习与引入1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:①如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)是极小值.0)(xf0)(xf0)(xf0)(xf2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.二、新课——函数的最值xX2oaX3bx1y观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.三、例题选讲例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:.443xxy令,解得x=-1,0,1.0y当x变化时,的变化情况如下表:yy,x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y’-0+0-0+y13↘4↗5↘4↗13从上表可知,最大值是13,最小值是4.例2:求函数在区间[-1,3]上的最大值与最小值.165)(22xxxxf解:.)1()12(5)(222xxxxf令,得0)(xf].3,1[,,21,212121xxxx且相应的函数值为:.2257)21(,2257)21(ff又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0比较得,f(x)在点处取得最大值在点处取得最小值211x;2257212x.2257延伸1:设,函数的最大值为1,最小值为,求常数a,b.132a)11(23)(23xbaxxxf26解:令得x=0或a.033)(2axxxf当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:)(xfx-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f’(x)+0-0+f(x)-1-3a/2+b↗b↘-a3/2+b↗1-3a/2+b由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b=1.又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以.362623aa延伸2:设p1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.说明:由于f(x)在[0,1]上连续可导,必有最大值与最小值,因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值.解:].)1([)1()(1111ppppxxpxppxxf令,则得xp-1=(1-x)p-1,即x=1-x,x=1/2.0)(xf而f(0)=f(1)=1,因为p1,故11/2p-1.,21)21(1pf所以f(x)的最小值为,最大值为1.121p从而函数f(x)的值域为].1,21[1p练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最大值.解:].)2(2[)1()(12xpxxpxfp令,解得.22,1,00)(321pxxxxf在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0,,)2(4)22(2ppppf故所求最大值是.)2(42ppp练习1:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最大值和最小值.答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.四、应用1.实际问题中的应用.在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法求最值是求解这类问题常见的解题思路.在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间.0)(xf满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.例1:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60).令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.02360)(2xxxV由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.类题:圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2πrh+2πr2.由V=πr2h,得,则2rVh.2222)(222rrVrrVrrS令,解得,从而,即h=2r.042)(2rrVrS32Vr232)2(VVrVh33224VV由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.例2:如图,铁路线上AB段长100km,工厂C到铁路的距离CA=20km.现在要在AB上某一处D,向C修一条公路.已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?BDAC解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD=km.2220x2400x又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为).1000()100(34005352xxtxtBDtCDty令,在的范围内有唯一解x=15.0)34005(2xxty1000x所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离不超过15千米时,所选D点与B点重合.练习:已知圆锥的底面半径为R,高为H,求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h.答:设圆柱底面半径为r,可得r=R(H-h)/H.易得当h=H/3时,圆柱体的体积最大.2.与数学中其它分支的结合与应用.xy例1:如图,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形ABCD,求这个矩形的最大面积.解:设B(x,0)(0x2),则A(x,4x-x2).从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0x2)..16246)(2xxxS令,得.3322,33220)(21xxxS),2,0(1x所以当时,.9332)(3322maxxSx因此当点B为时,矩形的最大面积是)0,2322(.9332例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值.解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.设,由x,y为正实数得:sin21,cos1yx.0.sin)cos1(21xy.sin)cos1(21)(f设).21)(cos1(cos]cos)cos1(sin[21)(2f令,得又0)(f;21cos,1cos.3,0,又f(0)=f(π)=0,833)3(f.833)]([maxf故当时,43,23yx.833)(maxxy例3:证明不等式:).0()1(321)1(211ln32xxxxx证:设).0()1(32)1(211ln)(32xxxxxxf则,12)1()1(2)1(11)(2322xxxxxxxxf令,结合x0得x=1.0)(xf而0x1时,;x1时,,所以x=1是f(x)的极小值点.0)(xf0)(xf所以当x=1时,f(x)取最小值f(1)=1.从而当x0时,f(x)≥1恒成立,即:成立.2)1(211lnxxx3)1(321x五、小结1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的最值的步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.2.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较.3.应用问题要引起重视.(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、不等式的证明及解法中有广泛的作用。(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很有用.六、作业第一次p.253~254课后强化训练第1~8题;第二次p.255~256课后强化训练第1~6题及9,10题.