高三函数复习(学生用)

名师教育当前第页共7页1高三函数复习1.映射：设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一对应的一个元素b，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。2.函数f:AB是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个3.求函数定义域的常用方法（研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数logax中0,0xa且1a等。如（1）函数24lg3xxyx的定义域是____；（2）若函数2743kxykxkx的定义域为R，则k_______；（3）函数()fx的定义域是[,]ab，0ba，则函数()()()Fxfxfx的定义域是__________；（4）设函数2()lg(21)fxaxx，①若()fx的定义域是R，求实数a的取值范围；②若()fx的值域是R，求实数a的取值范围（答：①1a；②01a）（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。（3）复合函数的定义域：若已知()fx的定义域为[,]ab,其复合函数[()]fgx的定义域由不等式()agxb解出即可；若已知[()]fgx的定义域为[,]ab,求()fx的定义域，相当于当[,]xab时，求()gx的值域（即()fx的定义域）。如（1）若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为__________；（2）若函数2(1)fx的定义域为[2,1)，则函数()fx的定义域为________．4.求函数值域（最值）的方法：（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]mn上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数225,[1,2]yxxx的值域。（2）当]2,0(x时，函数3)1(4)(2xaaxxf在2x时取得最大值，则a的取值范围是___；（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如211yxx的值域为_____；名师教育当前第页共7页2（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数2sin11siny，313xxy的值域（4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求1(19)yxxx的值域为______；（5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等如（1）已知点(,)Pxy在圆221xy上，求2yx及2yx的取值范围。（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用基本不等式：①2bykx型，可直接用不等式性质，如求232yx的值域。②2bxyxmxn型，先化简，再用基本不等式，如（1）求21xyx的值域。（2）求函数23xyx的值域。③2xmxnymxn型，可用判别式法或均值不等式法，如求211xxyx的值域。（7）不等式法――利用基本不等式2(,)abababR求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设12,,,xaay成等差数列，12,,,xbby成等比数列，则21221)(bbaa的取值范围是____________.。（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数32()2440fxxxx，[3,3]x的最小值。提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()fx时，一定首先要判断0x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如已知1(0)()1(0)xfxx　　　　，则不等式(2)(2)5xxfx的解集是___名师教育当前第页共7页37.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()fxaxbxc；顶点式：2()()fxaxmn；零点式：12()()()fxaxxxx，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知()fx为二次函数，且)2()2(xfxf，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求()fx的解析式。（2）代换（配凑）法――已知形如(())fgx的表达式，求()fx的表达式。如（1）若221)1(xxxxf，则函数)1(xf=_____.（2）若函数)(xf是定义在R上的奇函数，且当),0(x时，)1()(3xxxf，那么当)0,(x时，)(xf=________.（3）方程的思想――已知条件是含有()fx及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()fx及另外一个函数的方程组。如（1）已知()2()32fxfxx，求()fx的解析式；（2）已知()fx是奇函数，)(xg是偶函数，且()fx+)(xg=11x,则()fx=21xx8.函数的奇偶性。（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数)(xf2sin(3)x，[25,3]x为奇函数，其中)2,0(，则的值是?（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法：如判断函数2|4|49xyx的奇偶性____。②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0fxfx或()1()fxfx（()0fx）。如判断11()()212xfxx的奇偶性___.③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。（3）函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.②若()fx为偶函数，则()()(||)fxfxfx.如若定义在R上的偶函数()fx在(,0)上是减函数，且)31(f=2，则不等式2)(log81xf的解集为______.③若奇函数()fx定义域中含有0，则必有(0)0f.故(0)0f是()fx为奇函数的既不充分也不必要条件。如若22()21xxaafx·为奇函数，则实数a＝_1___.名师教育当前第页共7页4④定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设)(xf是定义域为R的任一函数，()()()2fxfxFx，()()()2fxfxGx。①判断)(xF与)(xG的奇偶性；②若将函数xexf)(，表示成一个奇函数)(xg和一个偶函数)(xh之和，则)(xg＝____9.函数的单调性。（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)ab内，若总有()0fx，则()fx为增函数；反之，若()fx在区间(,)ab内为增函数，则()0fx，请注意两者的区别所在。如已知函数3()fxxax在区间[1,)上是增函数，则a的取值范围是____；②在填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0byaxax0)b型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,],[,)bbaa，减区间为[,0),(0,]bbaa.如若函数2)1(2)(2xaxxf在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是______；③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数212log2yxx的单调递增区间是________。（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数2()log(3)afxxax在区间(,]2a上为减函数，求a的取值范围；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(xf是定义在)2,2(上的减函数,若0)12()1(mfmf，求实数m的取值范围。10.常见的图象变换①函数axfy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴向左平移a个单位得到的。②函数axfy()0(a的图象是把函数xfy的图象沿x轴向右平移a个单位得到的。如（1）若2(199)443fxxx，则函数()fx的最小值为____；(2)如若函数(21)yfx是偶函数，则函数(2)yfx的对称轴方程是().⑥函数xafy)0(a的图象是把函数xfy的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.名师教育当前第页共7页511.函数的对称性。①满足条件fxafbx的函数的图象关于直线2abx对称。②点(,)xy关于y轴的对称点为(,)xy；函数xfy关于y轴的对称曲线方程为xfy；③点(,)xy关于x轴的对称点为(,)xy；函数xfy关于x轴的对称曲线方程为xfy；④点(,)xy关于原点的对称点为(,)xy；函数xfy关于原点的对称曲线方程为xfy；⑤曲线(,)0fxy关于点(,)ab的对称曲线的方程为(2,2)0faxby。如若函数xxy2与)(xgy的图象关于点（-2，3）对称，则)(xg＝______⑥|()|fx的图象先保留()fx原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；(||)fx的图象先保留()fx在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。提醒：（1）从结论②③④⑤可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；12.函数的周期性。（1）类比“三角函数图像”得：①若()yfx图像有两条对称轴,()xaxbab，则()yfx必是周期函数，且一周期为2||Tab；如已知定义在R上的函数()fx是以2为周期的奇函数，则方程()0fx在[2,2]上至少有__________个实数根（2）由周期函数的定义“函数()fx满足xafxf(0)a，则()fx是周期为a的周期函数”得：①函数()fx满足xafxf，则()fx是周期为2a的周期函数；②若1()(0)()fxaafx恒成立，则2Ta；③若1()(0)()fxaafx恒成立，则2Ta.如(1)设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时，xxf)(，则)5.47(f等于_____；（2）设fx是定义域为R的函数，且21fxfx1fx，又2)2(f，则)2008(f=名师教育