二次函数存在性——直角三角形

回顾：如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）。点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动。其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ。求：（1）点（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t和取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由。←→yxOQBCANPM二次函数与直角三角形学习目标（1分钟）1.会解直角三角形存在性问题（点在直线上）2.会解直角三角形存在性问题（点在抛物线上）ABcD1.射影定理由△ACD∽△ABC得：自学指导1（5分钟）CD是RT△ABC斜边AB上的高。AC2=AD·AB由△BCD∽△BAC得：BC2=BD·BADC2=DA·DB由△ACD∽△CBD得：2.直角三角形相似----K型图ABCDE已知：在直角梯形ADEC中，∠D=90°B是DE边上一点，∠ABC=90°求证：BD·BE=AD·CEABCD3.直角三角形斜边上的中线CD是RT△ABC斜边AB上的中线。1234576891211223345y0已知：O为坐标原点，A(2,4)自学指导2（6分钟）O点P是x轴上一动点，当△AOP是直角三角形求P点坐标yxA坐标轴上1234576891211223345y0已知：O为坐标原点，A(2,4)A自学指导3（6分钟）O点P是直线x=3上一动点，当△AOP是直角三角形求P点坐标.xACO在直线x=0.5上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；时当情况一090PCA：时当情况二090PAC：)43,21(2P时当情况三090APC：)47,21(1P自学检测3（5分钟）（-1，0）（0，-2）)23,21()21,21(43PPACO在抛物线y=x2-x-2上是否存在点P，使△PAC是以AC为直角边的三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；时当情况一090PCA：时当情况二090PAC：)47,25(2P)27,23(1P自学指导4（4分钟）（-1，0）（0，-2）y=x2-x-2xABOCy1、已知：A(4,0),B(0,4)，C(-2,0).设抛物线上是否存在点E，使△BCE是以BC为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点E的坐标，若不存在，请说明理由。自学检测1（5分钟）2、如图所示，矩形OABC位于平面直角坐标系中，AB=2，OA=3，点P是OA上的任意一点，PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合．（1）设OP=x，OE=y，求y关于x的函数解析式，并求x为何值时，y的最大值；（2）当PD⊥OA时，求经过E、P、B三点的抛物线的解析式；（3）请探究：在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点M，使得△EPM为直角三角形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=-4/9x2+bx+c经过A、C两点，与AB边交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；②当S最大时，在抛物线y=-4/9x2+bx+c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的F的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c的值；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．（2012•赤峰改编）如图，抛物线y=x2-bx-5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF的解析式；当堂训练（6分钟）（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．（4）在抛物线上是否存在点M，使△ACM是以AC为直角边的三角形？若存在，求出M点坐标；若不存在，说明理由．16．已知抛物线y=a（x+1）2+c与x轴交于点A（-3，0）（1）直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）若直线过抛物线顶点M及抛物线与y轴的交点C（0，3）．①求直线MC所对应的函数关系式；②若直线MC与x轴的交点为N，在抛物线上是否存在点P，使得△NPC是以NC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于c点．212222yxxyxBOAC2.已知：如图一次函数y＝0.5x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝0.5x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝0.5x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．第27题图3.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）①点A的坐标为，点B的坐标为；②设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；③在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；④在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．22yxxk22yxxk22yxxk4.如图，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（1，3），把矩形绕点B旋转一定的角度，使它的顶点O落在x轴的点D处，已知M是第四象限内纵坐标为-1的点，以M为顶点的抛物线正好过O、D两点．（1）求点D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否存在点N，使以O、M、N为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．等腰直角三角形（4）若点D是抛物线在第三象限内的一个动点，连接BD、CD．当△BCD的面积最大时，求点D的坐标．（5）若点P是抛物线上一个动点，以线段AB、BP为邻边作平行四边形ABPQ．当点Q落在x轴上时，直接写出点P的坐标.3.如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．