AR模型谱估计算法分析

信息量准则在AR模型谱估计算法分析绪论雷达杂波的建模与仿真,是雷达目标环境模拟中的重要组成部分,杂波建模的好坏将直接影响到最终模拟效果。统计建模是目前较为成熟和常用的杂波建模方法,在建立统计性模型时,杂波通常用相关非高斯分布随机过程来描述,其主要模拟方法有三种:外部模型法、广义维纳过程的零记忆非线性变换法(ZMNL)和球不变随机过程法（SIRP)。使用这三种方法的前提都是要先产生具有指定功率谱特性的相关高斯随机过程。相对于杂波的空间相关性,杂波在时间上的相关性由其功率谱特性来描述。地面雷达环境杂波的功率谱主要用高斯谱或n次方谱来描述,分析这两种分布特性不难发现,杂波功率大部分集中在半功率点或特征频率范围内,具有一定程度的极值函数特征,因此,可以用有限阶自回归(AR)过程模拟近似。也就是说,可以将杂波看成是一个具有指定功率谱特性的自回归随机过程。这样,相关高斯杂波的模拟问题就转换为对给定功率谱求解其AR模型的参数和阶数问题。AR模型定阶准则可以分为两类:线性代数法和信息量准则法。线性代数法需要计算矩阵的秩,计算量大,不易于工程实时实现。文献[1]给出了一种修正的LEVISON算法来确定AR阶数,得到的阶数与实际AR阶数较为接近,但前提是需要事先选择一个取值理想的收敛因子,这给实际工作带来了不确定性。信息量准则法是设定一个与AR阶数、线形预测误差方差相关的性能指标,选择使这个性能指标达到最小的阶数,依此作为定阶原则来确定AR阶数。它的优点是计算量小,易于实现,不需要选择不确定性因素,而且这种基于信息量准则的方法具有明确的物理意义。采用模型仿真相关高斯序列，具有灵活性强，效率高的优点，但如何选择合适的阶数一直是模型谱估计中的关键问题。本文从介绍功率谱的估计原理入手分析了经典谱估计和现代谱估计两类估计方法的原理，根据现代谱估计中的线性预测自回归模型法(AR模型法)估计功率谱的原理，讨论了Levlnsion-Durbin算法和四种基于信息量准则的AR模型定阶准则：AIC、FPE、CAT和MDL，计算AR模型参数、估计功率谱并利用进行了实例计算和分析。一、功率谱估计现状信号处理的核心，说到底就是如何保证在信号受到干扰产生失真的情况下，正确恢复原有信号，提取有用信息。而功率谱(简称谱)估计就是信号处理的一个重要分支；以傅立叶变换为基础谱估计一般称为的传统(或经典)谱估计方法，传统谱估计法又可以分为直接法和间接法，后来由于FFT的出现，直接法和间接法往往被结合起来使用。不论是数据加窗还是自相关函数加窗，在频率域都会发生“泄露”现象，即功率谱主瓣的能量泄露到旁瓣中去，这样，弱信号的主瓣很容易被强信号的旁瓣淹没或畸变，造成谱的模糊与失真。为了克服经典谱估计的缺点，近年来在实现高分辨率谱估计技术方面取得了很大的进展，提出了许多功率谱估计的参数方法，也就是现代谱估计的基本方法。其基本思想是在进行谱估计过程对所观测的有限数据以外的数据不作任何确定性假设。谱估计的现代方法主要是以随机过程的参数模型为基础的，因此，也可以将其称为参数模型方法或简称模型方法。通常，由于有用信号与噪声的频谱特性不同，因此谱估计方法成为一种在噪声背景下提取有用信号(正弦信号)的有效方法。谱估计的方法主要有非参数化方法和参数化方法，或称为经典谱估计方法和现代谱估计方法。经典谱估计方法的优点是方法简便、计算效率高，其不足是频率分辨率低。现代谱估计方法具有频率分辨率高的优点，因此又被称为高分辨率谱估计方法。近年来，现代谱估计理论和技术的研究一直十分活跃。现代谱估计的方法主要有模型法、熵谱法、最大似然法和特征分解法等四大类。二、算法简介——Levinsion-Durbin递推算法用线性方程组的常用算法（如高斯消元法）求解Yule-Walker方程需要运算量的数量级为3P，但若利用系数矩阵的对称性和Toeplitz性质，则可以形成一些高效算法，Levinsion-Durbin算法是其中最著名、应用最广泛的一种，这种算法的运算量数量级为2P，这是一种按阶次进行的递推算法，即首先以0AR和1AR模型参数作为初始条件，计算2AR模型参数；然后根据这些参数计算3AR模型的参数，按照上述方法依次计算4,5,ARAR的参数，直到计算出ARp的模型参数为止。这样当整个迭代计算结束后，不仅求得了所需要的阶AR模型的参数，同时还得到了所有各低阶模型的参数。K阶Yule-Walker方程：2,1,10110100100kkkkRRRkaRRRkaRkRkR的参数2,1,2,a,,,,kkkkkaa，现求解k+1阶Yule-Walker方程，为此将k阶方程的系数矩阵增加一列和增加一行，称为下列形式的“扩大方程”：2,1,0111101010101k100kkkkkRRRkRkRRRkRkaRkRkRRaRkRRRD扩大方程中的kD由下式定义：,,001,1kkkikiDaRkia利用系数矩阵的特点，将扩大方程的行倒序，同时列也进行倒序，得到“预备方程”：,,120110101010101k101kkkkkRRRkRkDRRRkRkaRkRkRRaRkRRR将待求解的k+1阶Yule-Walker方程的解表示成扩大方程的解和预备方程的解的线性组合形式：1,1,1,11,,,11,111001kkkkkkkkkkkkaaaaaaa或者1,,1,1,1,2,,kikikkkiaaaik式中，是待定系数，称为反射系数。上式各项都右乘以k+1阶系数矩阵，得到：221120000kkkkkkDD由该式可以求出：12kkkD；22221111kkkkkkD由扩大方程的第一个方程可以求出：2,10kkkiiRaRi把以上各式子的模型参数代入到公式中，即可计算出功率谱估计值：22,11pjwxxpjwipiiSeae若在w范围内的N个等间隔频率点上均匀采样，则上式可写成：2222,11jkpNxxpjkiNpiiSeae若Np，则上式中在1Nip时，应取,0pia。三、AR模型的定阶准则选择合适的AR模型阶次是AR谱估计中的一个重要问题,阶次选择太低会产生较大偏差,太高则会导致虚假谱峰,并造成谱估计方差性能的下降。虽然Levinsion-Durbin递推关系式给出了阶次逐次提高的AR模型参数估计方法,但并没有给出定阶方法。文献[1]给出了一种修正的Levinson-Durbin算法来确定阶数,该算法事先设定一个收敛因子1a,进行递推运算,当1mma时,选择阶数m。该方法实际上是判断预测误差方差随阶数增大而收敛的程度,但是它并没有给出一个准则来判断什么样的收敛程度是符合要求的,在实际操作中需要多次试验才能选取到合适的因子。本文则采用了四种具有明确物理含义的信息量准则法:赤池信息量准则(AIC)、最终预测误差（FPE)法、自回归传递函数(CAT)准则、最小描述长度(MDL)准则。赤池信息量准则（Akaike'sInformationCriterion；简记为AIC）是在统计模型选择中有着最广泛应用的信息量准则，是赤池弘次（H.Akaike）在研究信息论特别是在解决时间序列定阶问题中提出来的。AIC准则是选择阶数m，以使性能指标：ln2mAICmNm达到最小，m为m阶AR模型的预测误差的方差。AIC表示的是AR模型估计的概率密度函数和数据真实的概率密度函数之间的Kullback-Leibler距离的估计值。FPE准则是选择阶数m，以使性能指标：11mNmFPEmNm达到最小。当观察点数N时，AIC与FPE将得到相同的阶次估计。CAT准则是选择阶数m，以使性能指标：1111iimCATmN达到最小，式中iiNNi。CAT准则使得估计值的预测误差滤波器最接近最佳无限长滤波器。之所以最佳滤波器是无限长的，是因为CAT准则不仅仅是对纯AR过程，而且是对任意过程数据的AR谱进行估计。MDL准则的使性能指标为lnlnmMDLmNmN，MDL准则是用最小描述长度来选择阶数，它根据使模型对应过程的概率分布最大可能地逼近实际过程的概率分布这一思想，用Kullback-Leibler信息测度来衡量两个概率分布距离。信息量准则法不需要选择不确定性因素来限定阶数的选择,而且具有明确的物理意义。严格按照性能指标所确定的AR模型阶数m往往偏低,尤其是对于n次方谱,而取2-3倍的m则可以达到较好的结果。四、AR模型谱估计功率谱的Matlab实现模型法包括AR模型法、MA模型法、ARMA模型法，由于三者之间可以相互表示，而对AR模型参数的估计得到的是线性方程，故AR模型法比MA、ARMA模型法具有在计算上简便的优点，且实际物理系统往往是全极点系统，所以研究有理分式传递函数的模型主要是讨论AR模型。AR模型法做功率谱估计的原理是：假设所分析的信号xn是一个均方误差为2w的白噪声激励wn--线性时不变系统Hz（即AR模型）所得到，则分析信号的功率谱估计为：22111jwxxwpzekkkPwHzHzaz其中为输入序列的方差2w，12,,,paaa为待估参数。由此可见AR模型法估计功率谱使之是求解模型参数12,,,paaa和2w的问题。本文采用Levinsion-Durbin递推算法求解模型参数，使之得到功率谱估计值。实例分析：以正弦信号加白噪声为分析信号，用Levinsion-Durbin递推算图（1）基于AIC准则的功率谱估计图（2）基于FPE准则的功率谱估计图（3）基于CAT准则的功率谱估计图（4）基于CAT准则的功率谱估计法求出模型参数，进而估计出其功率谱。分析信号：12cos2***sin2***Xpifnpifnen，其中12100,200;fHzfHz依次采用AIC,FPE,CAT,MDL四种信息量准则得到信号的估计功率谱如上图（1）、图（2）、图（3）、图（4）所示。五、结束语对正弦信号加白噪声进行功率谱估计，由于白噪声的功率谱是一个常数，所以可以估计出信号的功率谱，本文中采用Levinsion-Durbin递推算法求解模型参数，对于阶次的确定，虽然可以通过观察预测误差功率，当其下降到最小时，对应的阶便可以选定为模型的阶，但是预测误差功率是随着阶次增加二单调下降的，因此很难确定降到什么程度才最合适，因此，本文中采用了AIC、FPE、CAT和MDL四种信息量准则。从仿真结果中可以看出，由于噪声的干扰，信号的波动很频繁，峰值很多，从功率谱估计可以看出其很少收到噪声的干扰，因为噪声的功率谱时一常数；功率谱谱峰很明显，同时功率谱估计也没用出现虚假谱峰、谱线分裂等现象。参考文献：1朱灿焰等.一种基于现代谱估计的相关雷达杂波模拟方法[J].北京理工大学学报，1999，19（1）：73-77.2张贤达.现代信号处理[M].清华大学出版社，1994.3李春林等.AR模型谱估计算法设计与分析[J].义乌工商职业技术学院学报，2009，7（2）：58:-61.4胡广书.数字信号处理理论、算法与实现[M].北京：清华大学出版社，2003.5黄志宇等.随机信号的功率谱估计及Matlab的实现[J].现代电子技术，2003（3）：21-23