第五章 离散时间系统的时域分析

第五章离散系统的时域分析离散信号及特性离散系统的描述及模拟差分方程的经典解单位函数响应离散系统与连续系统的比较连续系统离散系统系统由微分方程描述系统由差分方程描述响应r(t)=rzi(t)+rzs(t)响应y(k)=yzi(k)+yzs(k)卷积积分卷积和线性和非时变性线性和位移不变性以冲激信号(t)为基本信号以单位函数(k)为基本信号rzs(t)=h(t)e(t)yzs(k)=h(k)f(k)§1离散信号及其时域特性离散信号的定义离散时间信号可以从两个方面来定义：仅在一些离散时刻k(k=0,±1,±2,…)上才有定义(确定的函数值)的信号称为离散时间信号，简称离散信号，用f(k)表示。连续时间信号经过抽样（即离散化）后所得到的抽样信号通常也称为离散信号，用f(kT)表示，T为抽样周期。f(kT)一般简写为f(k)。k)(kTfk)(kf基本离散信号复指数信号：f(k)=Caka=|a|ej,C=|C|均为复数C和a为实数(实指数序列)|a|1,指数上升曲线a为负,f(k)的值符号交替变化。|a|1,指数衰减曲线a为正,f(k)的值均为正kakf)(10ak012341kakf)(01ak012341正弦序列和指数正弦序列正弦序列：f(k)=Caka=,C=A均为复数)sin()cos()(00)(0kjAkAeAkfkj0je)cos()](Re[0kAkf)sin()](Im[0kAkf为正弦序列按指数变化的正弦序列：f(k)=Caka=|a|,C=A0je)sin()cos()(00)(0kajAkaAeaAkfkkkjk|a|=1,实部和虚部都是正弦序列；|a|1,实部和虚部都是指数衰减的正弦序列；|a|1,实部和虚部都是指数增长的正弦序列；数字角频率和模拟角频率的关系数字角频率0与模拟角频率0的关系由于离散信号定义的时间为kT，显然有：0=0T模拟角频率0的单位是rad/s，而数字角频率0的单位为rad。0表示相邻两个样值间弧度的变化量。)(tfst/001.002.0srad/31402.020)(kfk012345678rad48200表示1秒内变化了50个2rad0表示两个离散值之间的弧度变化量正弦序列的周期周期序列的定义：f(k+N)=f(k)式中：N为序列的周期，只能为任意整数。周期N的计算方法：与模拟正弦信号不同，离散正弦序列是否为周期函数取决于比值2/0是正整数、有理数还是无理数。是正整数时，则周期为N。因为：N02kAkANkA0000sin)]2(sin[)](sin[是有理数时，则周期为mN0202mN为无理数时，正弦序列就不再是周期序列。但包络线仍是正弦函数。02单位阶跃序列定义)(k00k01k)(kk012345611延迟的阶跃序列)3(k30k31k)3(kk012345611门函数)6()2(kkk012345611单位(冲激)函数定义)(k00k01k)(kk012311延迟的(k))3(kk0123411门函数)5()4()3()2()6()2()(kkkkkkkf)3(k30k31kk012345611)(kf单位(冲激)函数的主要性质筛选特性：加权特性：(k)与(k)的关系：knfnkkf)()()()()()()(nknfnkkf因此，可以将任意离散信号表示为一系列延时单位函数的加权和，即)2()2()1()1()()0()1()1()2()2()(kfkfkfkfkfkfnnknf)()(knnk)()(0)()(iikk或)1()()(kkk将左式用n=k-i代换变量：即i=k-n可得出求和上下限离散信号的运算序列的相加：f(k)=f1(k)+f2(k)序列的相乘：f(k)=f1(k)·f2(k)序列的折叠、尺度变换与位移：与连续信号相同序列的差分：与连续信号中的微分对应的运算一阶前向差分f(k)=f(k+1)-f(k)二阶前向差分2f(k)=[f(k)]=f(k+1)-f(k)=f(k+2)-2f(k+1)+f(k)一阶后向差分f(k)=f(k)-f(k-1)二阶后向差分2f(k)=[f(k)]=f(k)-f(k-1)=f(k)-2f(k-1)+f(k-2)离散信号的运算序列的求和(累加)：与连续信号中的积分对应的运算iifkf)()(1典型的累加和：kiki)()(kikki)()1()(kikkkii)()1(21)(1)(11)(1akaaiakiki有限等比序列求和公式：niniqqaaa111无穷收敛等比序列求和公式：111iiqaa其中：a1首项，an末项，q等比例1下述四个等式中，正确的是______。)()1()()(kkkA)1()()()(kkkBjjkkC)()()(0)()()(jjkkD)(kk0123456112)1(kk0123456112)(kk012112)1(kk012112jjk)(k01234561120)(jjkk012112D例2信号f(-k-i)表示为_______。(i0)D(A)信号f(k)的右移序i(B)信号f(k)的左移序i(C)信号f(k)折叠再右移序i(D)信号f(k)折叠再左移序i例3离散时间序列是____(A.周期信号；B.非周期信号)。若是周期信号，则周期N＝______。kBkAkf3cos5sin)(如果包含有n个不同频率正弦分量的复合信号是一个周期为N的周期信号，则其周期N必为各分量信号周期Ni的整倍数。如有2个分量，即N=m1N1=m2N2,mi为正整数.21212211,22,2mmmmNii221122mmN则周期为：2121:5:33:5:mm对本题：则周期为：30523211mNA30例4离散时间序列是____(A.周期信号；B.非周期信号)。若是周期信号，则周期N＝______。kBkAkf3cos61sin)(2121:6:33:61:mmBm1=3,m2=6。可见不是正整数。故此信号是非周期信号。例5已知离散信号f(k)=(k+2)[(k+2)-(k-3)],求:f(k+1)+f(-k+1)=？)(kfk0121424)1(kfk012124)1(kfk012126k012121f(k+1)+f(-k+1)=(k+2)+6(k+1)+6(k)+6(k-1)+(k-2)例6序列y(k)=k2-2k+3,则二阶前向差分2y(k)=______。二阶前向差分2y(k)=[y(k)]=y(k+1)-y(k)=y(k+2)-2y(k+1)+y(k)=(k+2)2-2(k+2)+3-2[(k+1)2-2(k+1)+3]+k2-2k+3=k2+4k+4-2k-4+3-2k2-4k-2+4k+4-6+k2-2k+3=22例7已知离散信号f(k)=(k+2)[(k+2)-(k-4)],试画出f(k)，f(k-3)，f(-k)，f(-k-3)的图形。)(kfk01215235)3(kfk0121236)(kfk0121523)3--(kfk01215236比较内容微分方程差分方程方程形式y(k)+ay(k-1)=bf(k)函数比较含有含有y(k),y(k-1)阶数导数的最高次数自变量序号最高与最低之差常系数线性方程A，B为常数a,b为常数初始条件y(0)y(0))()()(tfBtAydttdy)(,)(tydttdy§2离散系统的描述及模拟微分方程与差分方程的比较差分方程的两种形式n阶前向差分方程)()1()1()()()1()1()(011011kfbkfbmkfbmkfbkyakyankyankymmn式中，f(k),y(k)分别为激励与响应。前向差分方程多用于状态变量分析法。n阶后向差分方程)()1()1()()()1()1()(011011kfbkfbmkfbmkfbkyakyankyankymmn后向差分方程多用于因果系统与数字滤波器的分析。差分方程的重要特点是：系统当前的输出（即在k时刻的输出）y(k)，不仅与激励有关，而且与系统过去的输出y(k-1),y(k-2),y(k-n)有关，即系统具有记忆功能。线性时不变离散系统的性质齐次性：Af(k)Ay(k)叠加性：f1(k)+f2(k)y1(k)+y2(k)线性性：A1f1(k)+A2f2(k)A1y1(k)+A2y2(k)时不变性(延迟性或移序不变性)：f(k-k0)y(k-k0)差分性：f(k)y(k)累加和性：kikiiyif)()(线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述的线性时不变（LTI）系统为)()1()()()1()(101MkfBkfBkfBNkyAkyAkyMN所有的项都包括了y(k)或f(k)。所有的系数都是常数（而不是y(k)、f(k)或k的函数）。下列因素导致系统差分方程是非线性或时变的：若有任何一项是常数或是y(k)或f(k)的非线性函数，则它是非线性的。若y(k)或f(k)中的任何一项的系数是k的显时函数，则它是时变的。离散系统的性质若当k0时激励f(k)=0，则当k0时响应y(k)=0。因果性也就是说，如果响应y(k)并不依赖于将来的激励[如f(k+1)]，那么系统就是因果的。造成系统差分方程为非因果的因素：若最小延迟输出项是y(k)且有一输入项为f(k+M)的形式(M0),那么它就是非因果的。如：)()1(2)(kfkyky)1()1(2)(kfkyky)1()()1(kfkyky)2()()1(kfkyky是因果的是非因果的判断离散系统类型举例设f(k)和y(k)分别表示离散时间系统的输入和输出序列，分析以下系统的线性、时不变、因果性。)()(12)2(32kfkykkyk解：(1)系统是线性的、时变的(系数是k的函数)、因果的系统。(2)系统是非线性的(含有常数项)、非时变的、因果的系统。)1()2()(4)(kfkykyky(1)(2)3)(2)(kfky(3))2()(kfky(4)(3)系统是非线性的(系数含有y(k))、时变的(含y(2k))、非因果的系统。(4)系统是线性的、时变的(含f(2k))、非因果的系统。离散系统举例离散系统的差分方程为y(k+3)=-3y(k+2)+4y(k),若已知y(0)=1,y(2)=0,y(5)=12,则y(1)=_____。2令k=0：差分方程为y(3)=-3y(2)+4y(0)=4,令k=1：差分方程为y(4)=-3y(3)+4y(1)=-12+4y(1),令k=2：差分方程为y(5)=-3y(4)+4y(2)=-3y(4),12=-3y(4),y(4)=-4,由k=1：4y(1)=12+y(4)=8,故y(1)=2课堂练习题画出下列各信号的波形：)()1()(kkkf(1))]5()([)(kkkkf(2)(3))(])1(1[)(kkfk)]()3([