第五章 线性系统的频域分析法

第五章线性系统的频域分析法频域分析法的由来：工程技术上常采用傅里叶分析法来分析线性系统（《信号与系统》）。因为任何周期函数都可以展开为含有许多正弦分量或者余弦分量的傅里叶级数；而任何非周期函数都可表示为傅里叶积分，从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数。在我们研究输入为非正弦函数的线性系统时，应用傅里叶级数和傅里叶变换的这个性质，可以通过研究对各种频率正弦波的响应特性来了解系统对非正弦输入的响应特性。自动控制系统的频域分析法就是建立在这个基础上的。参见《信号与系统》•控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能，是系统的一种数学模型。•应用频率特性来研究线性系统的经典方法称为频域分析法。频域分析法具有以下特点：1.控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法或者实验法获得，并可用多种形式的曲线来表示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行。2.频率特性的物理意义明确。频域性能指标和时域性能指标之间有相应的对应关系。3.控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。4.还可以推广到研究某些非线性系统。频域分析法的基本介绍时域分析法与频域分析法比较：时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确。当往往需要求解复杂的微分方程。频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型——频率特性，利用频域指标和时域指标之间的对应关系，间接地揭示系统的暂态特性和稳态特性，简单迅速地判断某些环节或者参数对系统的暂态特性和稳态特性的影响，并能指明改进系统的方向。也是一种工程上常用的方法。复域分析法（根轨迹法），根轨迹法与时域分析法联系较为紧密。本章内容5-1频率特性（数学模型）5-2典型环节与开环系统的频率特性（系统建模）5-3频率域稳定判据（稳定性问题）5-4Matlab在频率响应法中的应用5-5稳定欲度（相对稳定性问题）5-6闭环系统的频率特性5-7频域响应和时域响应之间的关系5-8控制系统频域设计频域分析法与时域分析法是截然不同的两种分析和设计系统的方法，但是本质是统一的。教材这一章写的？？5-1频率特性1.频域特性的基本概念（这种数学模型是怎样的？）2.频率特性的几何表示（这种数学模型怎样表示？）1.频域特性的基本概念首先以RC滤波网络为例，引出频率特性的基本概念。22[sin]Lts那么该性质是否具有一般性，即能否推广到一般的n阶线性定常系统中？()sin()()sin[()]sxtXtytXGjtGj()()sjGjGs其中，如果该结论成立，我们知道，控制系统中的信号均可以表示为不同频率正弦信号的合成。那么我们将各种不同频率的输入正弦信号对应该线性系统的响应情况都求出来，那么任何一种控制信号对系统的响应就可以通过叠加相应的正弦信号响应而得到。（《信号与系统》傅里叶变换。）这也是频率分析法的根本思想所在。该结论成立的意义：附录A傅里叶变换和拉普拉斯变换P630那么该性质是否具有一般性，即能否推广到一般的n阶线性定常系统中？()sin()()sin[()]sxtXtytXGjtGj()()sjGjGs其中，证明：对于一般的n阶线性定常系统中，若输入，则输出的稳态值为()sinxtXt()()sin[()]()sin[()]sytXGjtGjXAt频率特性的定义对于一般的n阶线性定常系统中，若输入，则输出的稳态值为()sinxtXt()()sin[()]()sin[()]sytXGjtGjXAt也就是说，对于稳定的线性系统，由谐波输入（正弦输入）产生的稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数，只是幅值和相位产生了变化，并且这种变化是频率的函数，这个函数与系统数学模型相关。（重要概念）获取系统频率特性的途径有两个:1.分析法当已知系统的传递函数时，用代入传递函数可得到系统的频率特性G(jω)。因此，频率特性是特定情况下的传递函数。它和传递函数一样，反映了系统的内在联系。这种通过传递函数确定频率特性的方法是求取频率特性的分析法（解析法）。2.实验法当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传递函数时，在系统的输入端输入一正弦信号，测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅频特性和相频特性。这种通过实验确定系统频率特性的方法是求取频率特性的实验法（也叫系统辨识）。系统辨识：由系统的输入与输出确定系统数学模型的方法。tXSintX)()(YX)(jsjs曲线拟合P189，图5-35、频率特性一般针对稳定的线性定常系统而言。正弦输入稳态误差求法总结：1.定义法，求拉式反变换（不能用终值定理）2.动态误差系数法3.频率响应法用频率特性求取正弦输入稳态误差的方法：2.频率特性的几何表示法（图示法）（重点）仅从的表达式中看出的信息不直观，在工程分析和设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，观察其在不同频率段上的变换，再运用图解法进行研究（包括稳态性能、暂态性能等）。常用的频率特性曲线有三种：（伯德曲线或伯德图，波特图）（尼克尔斯曲线或尼克尔斯图）（极坐标图，奈奎斯特图，奈氏图，幅相曲线）Bode图是重点，Nyquist图次重点。（考试、考研必考）本教材，写的跳跃性过大，也太难，建议参考其他作者书。()Gj频率特性幅频特性相频特性实频特性虚频特性对数幅频特性()GjRemark:给定一个环节或者系统的传递函数，可以马上得到：()Gs()A()()U()V20lg()A以上特性，在频率特性的几何表示中，经常用到，通常都需要事先计算出来，再绘图。例RC网络的奈奎斯特图P190页证明见图5-5（规范）单位：弧度/秒半对数坐标系的优点：对数频率特性采用的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频率范围内反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用则将幅值的乘法运算转化为加减运算，可以简化曲线的绘制过程。20lg()A02040-40-20)(L0.010.111010002040-40-20)(L0.010.1110100045o90o-90o-45o)(0.010.1110100dB例RC网络的伯德图RC网络Nichols图(T=0.5)5-2典型环节与开环系统的频率特性设典型的线性系统结构如图所示，闭环系统的很多性能可通过研究开环系统的频率特性来得到。该线性系统的开环传递函数为，为了研究开环系统频率特性曲线，本节先研究开环系统典型环节的频率特性，进一步研究开环系统的频率特性。()()GsHs本节目录1.典型环节2.最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图）3.非最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图）4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图）5.系统的开环对数频率特性曲线（bode图）6.传递函数的频域实验确定7.延迟环节和延迟系统重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考，考研可能考。1.典型环节2.最小相位环节的频率特性（考试、考研重点，nyquist图与bode图必须会画，概率图）考试的标准画法oL(dB)1010201001000101010010()20lgk1001000101比例环节的nyquist图与bode图考试的标准画法注意考察几个特殊点：(0),(0);(),()AA注意横竖坐标交点处的的横坐标值（如果交点处没标横坐标值，则斜线不到头）与横轴的交点。o积分环节的nyquist图与bode图纯微分环节的Bode图比较交点不标记的情况00半对数坐标系中的直线方程（重要，bode图解计算时经常用到）2121()()lglgLLk其中，和为直线上的两点，为直线斜率。11[,()]L22[,()]L()kdBdec(1)(0.1)02020lg1lg0.1lg1lg0.1LL2211()11jTGjjTT一定在第四象限，相角变化在0度到-90度。考试的标准画法惯性环节的误差曲线注意考察几个特殊点：(0),(0);(),()AA与转折点L(dB)()450200406090精确特性渐进特性20dB/dec1T考试的标准画法注意考察几个特殊点：(0),(0);(),()AA与转折点惯性环节极坐标图o对吗？？？2211(),,021nGsTTTsTs也可写为尾一式22222222222[()2]()()2()4nnnnnnnnjGjj第四象限第三象限根据实频和虚频确定相角象限的方法（重要）为的减函数。当时，谐振峰值。,rrM2(0)2注意：20.70721rM21,(0,),()2A3.有谐振时，2.与虚轴的交点0(0)1,(0)0;()0,()180AA1.（特殊点与趋势）rM（转折点，是阻尼比的减函数）20,(0,),()220,(,),()2rrAA4.无谐振时222222114nn对数幅频特性：222222()20lg14nnLn()L12224n时，忽略中的和0,140lg40(lglg)40(lglg),nnnnT222222()20lg14nnL二阶振荡环节的折线（渐近线）方程2211(),,021nGsTTTsTs区分谐振峰值和峰值（P80）注意：越小，最小为0，出现的越晚；越大，最大为0.707，出现的越早rrL(dB)1010201001000101010010()20lgk1001000101比例环节bode图典型最小相位环节bode图汇总04020dB/dec20dB/dec40微分环节积分环节L(dB)()90090微分环节积分环节L(dB)2006020dB/dec20dB/dec20604040一阶比例微分环节惯性环节()90090一阶比例微分环节惯性环节P193图5-1111TL(dB)()00909018018040dBdec40dBdec振荡环节与二阶微分环节（折线图怎么画）1T转折频率？最小相位系统：比例相频不衰减；积分相频衰减-90度一节惯性相频逐步衰减90度二阶振荡相频逐步衰减180度微分相频超前90度一阶微分逐步超前90度二阶微分逐步超前180度3.非最小相位环节的频率特性注意：运用实频和虚频判断相角象限与教材的非最小相位惯性环节表达式有区别4.系统的概略开环幅相曲线（Nyquist图）（考试、考研必考）1）将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：2）求系统的频率特性：即概略绘制的具体步骤3）求4）补充必要的特征点(主要指曲线与负实轴的交点，相交时所对应频率称为穿越频率)。5）根据的变化趋势确定曲线历经的象限与单调性，画出Nyquist图的大致形状。例：已知系统的开环传递函数试绘制系统的开环Nyquist图。解：1）系统的开环频率特性2）起点和终点3）曲线与实轴的交点。123,,,0KTTT例：已知系统的开环传递函数试绘制系统的开环Nyquist图并求与实轴的交点。解：1）系统的开环频率特性2）起点和终点3）曲线与实轴的交点。相交时，满足()V解得：舍去（虚频为零）又()U解得，()xU例：已知系统的开环传递函数试绘制系统的开环Nyquist图。解：1）系统的开环频率特性2）起点和终点12,,0KTT最小相位系统nyquist图的一般形状：（考试、考研时利用此规律作图）考虑如下系统：1）n为分母阶次,m为分子阶次只包含惯性环节的0型系统Nyqui