北京四中---高中数学高考综合复习 专题十五 向量的概念与运算

1高中数学高考综合复习专题十五向量的概念与运算一、知识网络二、高考考点1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择2题或填空题的形式出现。2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主要是：（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用；（2）向量共线的充要条件的应用；（3）向量垂直的充要条件的应用；（4）向量的夹角的计算与应用；（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。3、线段的定比分点线或平移问题。4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。三、知识要点（一）向量的概念1、定义（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。（2）向量的模：向量的大小（即长度）叫做向量的模，记作。特例：长度为0的向量叫做零向量，记作；长度为1的向量叫做单位向量.（3）平行向量（共线向量）：一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量.特殊规定：与任一向量平行（即共线）.（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量与零向量相等。认知：向量的平移具有“保值性”。2、向量的坐标表示（1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量、作为基底，任作一个向量,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得，将有序实数对（x,y）叫做向量的坐标，记作；并将叫做向量的坐标表示。（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。（二）向量的运算1、向量的加法2、向量的减法33、实数与向量的积（1）定义（2）实数与向量的积的运算律：（3）平面向量的基本定理：如果是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使，这两个不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（4）向量共线的充要条件：（i）向量与非零向量共线有且只有一个实数使（ii）设则：4、向量的数量积（内积）（1）定义：（i）向量的夹角：已知两个非零向量和，作叫做向量与的夹角。（ii）设两个非零向量和的夹角为，则把数量叫做与的数量积（内积），记作，即并且规定：零向量与任一向量的数量积为0.（2）推论设、都是非零向量，则（i）（ii）（iii）4(3)坐标表示(i)设非零向量，则(ii)设(4)运算律（自己总结，认知）四、经典例题例1．判断下列命题是否正确：（1）若的方向相同或相反；（2）若（3）若则A、B、C、D四点组成的图形为梯形；分析：（1）不正确∵不能比较方向。（2）不正确当时，虽然对任意，都有不一定平行。（3）不正确，故这里的已知条件也包含A、B、C、D四点共线的情形。点评：判断或证明向量的共线或垂直问题，务必要注意有关向量为零向量的情形，判断失误或解题出现疏露，多是零向量惹的祸。例2．设点O为ΔABC所在平面内一点（1）若，则O为ΔABC的（）A、外心B、内心C、垂心D、重心（2）若，则为ΔABC的（）A、外心B、内心C、重心D、重心5（3）若动点P满足,则点P的轨迹一定通过ΔABC的（）A、外心B、内心C、重心D、重心（4）若动点P满足,则点P轨迹一定通过ΔABC的（）A、外心B、内心C、重心D、重心分析：（1）借助向量加法分析已知条件：以、为邻边作平行四边形OBDC，并设OD∩BC=E，则由平行四边形性质知，E为BC和OD中点。①且②∴由①、②得∴A、O、E、D、四点共线③且④于是由③、④知O为ΔABC的重心，应选D(2)由同理可得OA⊥BC,OC⊥AB于是可知，O为ΔABC的垂心，应选C（3）由已知得①令，则是上的单位向量，令，则是上的单位向量。∴由①得：②令,则点Q在角A的平分线上③又由②知的与共线且同向（或）∴动点P在角A的平分线上∴点P的轨迹一定通过ΔABC的内心，应选B。6（4）注意到的几何意义，=0又由已知的得：∴动点P在BC边的高线上∴动点P的轨迹一定通过ΔABC的垂心，应选C。点评：品味各小题，从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。例3：（1）成立的充分必要条件为（）A、B、C、D、（2）已知A、B、C三点共线，O为该直线外一点，设且存在实数m使，则点A分所成的比为（）A、-B、2C、D、-2分析：（1）注意到不等式，当且仅当、反向或、中至少有一个为时等号成立，∴由得、反向或由此否定A、B、C，本题应选D（2）注意到条件的复杂以及已知式变形方向的迷茫，故考虑从“目标”分析切入，主动去7沟通“已知”，设则(刻意变形，靠拢已知)（目标的延伸）①又由已知得：（已知的变形或延伸）②∴根据两向量相等的条件由①、②得：于是可知，点A分所成的比，应选A点评：（i）（1）对任意向量、都有，其中，当且仅当同向或中至少有一个为时左边的等号成立；当且仅当反向或中至少有一个为时右边的等号成立；当且仅当中至少有一个为时，左右两等号同时成立。（ii）对于（2），“已知”与“目标”相互靠扰，只是切入点是从“已知”切入还是从“目标”切入，需要仔细分析。例4：设、分别是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，在同一条直线上有A、B、C三点，，求实数m、n的值。解：由题设知与共线①又②②代入①得：7（2n-1）=(n+2)(2n+1)8(n-3)(2n-3)=0当时代入②得：m=3当时代入②得：m=6∴m=6，n=3或m=3，点评：不失时机地利用向量的坐标表示，是解题的基本技巧。例5．设试求满足：（这里O为原点）分析：注意到的坐标即点D的坐标，可从设坐标，由（x,y）切入，去建立关于x，y的方程组。解：设，则点D坐标为（x,y）则由已知条件得：x-2y+1=0①由得：x+4=3(y-1)x-3y+7=0②于是将①、②联立，解得：点评：本题是对向量坐标的概念，向量的垂直与向量的平行的充要条件的综合应用，借此练习，可进一步认识与把握关于向量的概念与公式。例6．设向量满足（1）若，求与的夹角；（2）若的值。9解：（1）设与的夹角为，则①②于是由②代入①得：注意到∈[O,],可得结果（2）解法（着眼于对等各个击破）一方面由已知得：③又④由③、④得⑤注意到，当且仅当，同向或，中至少有一个为时等号成立由⑤得与同向另一方面，又由知，与反向与的夹角为0°，与的夹角为180°，与的夹角为180°∴原式=3×1-1×4-3×4=-13解法二（着眼于寻求目标与已知的整体联系）：10∴由已知条件得解法三（从寻求目标局部的值切入）：原式同理，点评：解法二与解法三，均着眼于整体代入，解题过程简明，比解法一有明显优势。但是，解法一中对已知数值的利用，却对今后的条件求值有着不可替代的潜在作用，条件求值中对已知数据的应用主要有以下三个方面：（1）利用数值本身（代入）；（2）分别利用数值的绝对值和符号；（3）利用有关数值的关系沟通有关元素间的联系（比如，由3+1=4，32+42=52沟通联系等）。例7．已知的夹角为120°，且,试求m，n及与的夹角。解法一：（利用内积的定义），设与的夹角为，由再①②再由：由①，②得③将③代入②得：④11于是由①，③，④得所求,n=-4,的夹角为30°或150°点评1：本题已知条件繁多，头绪纷乱，更需要在解题时梳理思绪。注意到所求m、n含在中，故在求出、的值之后，以的变形为主线展开求索：变形1.变形2.变形3.于是，整个解题过程既显得有条不紊，又感觉酣畅淋漓。解法二（利用向量的坐标）：设，与的夹角为，由已知得①由②又x12+y12=8③x22+y22=4④由①，③解得或由②，④解得或将上述，坐标分四次代入便解得n=-4，,=30°或150°点评2：本解法致力于求与的坐标，虽然解题过程仍然曲折，但思路明朗，更多几分胜算。例8．设的夹角为，12分析：此题为以向量为载体的三角求值问题，因此，从化简，的坐标切入，向三角函数中常见的关系式转化。解：①②③注意到这里由②、③得到④⑤于是由①、④得由①、⑤得解得⑥13因此由⑥得点评：在这里，利用实数与向量的乘法的法则，将表为,从而为简化及的表达式以及简化的表达式奠定良好的基础。五、高考填题（一）选择题、1、（2005·湖南卷）P是ΔABC所在平面上一点，且，则P是ΔABC的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心分析：由同理，AB⊥PC,BC⊥PA点P为ΔABC的垂心，应选D2、（2005•山东卷）已知向量，,且,则一定共线的三点是（）A．A、B、DB.A、B、CC.B、C、DD.A、C、D分析：利用两向量共线的充要条件来判定，从寻找所给向量的联系切入由题意得A、B、D三点共线，应选A3、（2005•全国卷B）已知点A（,1），B（0，0），C（，0），设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有,其中等于（）A、2B、C、-3D、-14分析：从认知目标切入，由题设易知与反向，故0①又由三角形内角平分线定理得即=3②于是由①、②得=-3，应选C4、（2005·北京卷）若,,，则向量与的夹角为（）A、30°B、60°C、120°D、150°分析：令向量与的夹角为，则①又由得②于是将已知与②代入①得所得，应选C5、（2005·福建）在ΔABC中，，，，则k的值是（）。A、5B、-5C、D、分析：循着一般思路，欲求k的值，先寻找关于k的方程，可以通过解方程获取k的值，为此我们利用题设条件寻找等量关系切入：由题设知，由此得（2，3）·（2-k,2）=02（2-k）+6=0解得k=5,故应选A。6、（2005·重庆）设向量等于（）。A、（1，1）B、（-4，-4）C、-4D、（-2,-2）15分析：循着向量的坐标表示与有关公式得：∴原式=-4（1，1）=（-4，-4），应选B7、（2005·重庆卷）已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为（）A、分析1：（特征分析法）：画出ΔABC及其中线AD，又将向量平移到,则可见与成钝角，而选项中A、B为锐角，D为负角，故只能选C。分析2：（直接法）：由题设D（5，2）所求两向量夹角应为）,应选C8、（2005·浙江）已知向量，满足对任意t∈R，,则（）A、分析：从已知不等式的等价变形切入，去认识所含向量，的关系由已知得整理得①注意到①对任意都成立。16即②根据②式检验选项，故选C点评：关于向量的模的不等式，变形转化的基本手段是不等式两边平方，这是本题切入、转化的关键环节。（二）填空题1、（2005·广东卷）已知向量分析：注意到两向量平行的充要条件，由已知条件得2×6-3x=0，由此解得x=42、（2005·全国卷C）已知向量,且A、B、C三点共线，则k=。分析：由A、B、C三点共线切入，向着向量的共线转化A、B、C三点共线向量、共线又由、共线的充要条件得7（-k-4）=5（k-4），解为3、（2005·天津卷）已知=2，=4，与的夹角为，以，为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为。分析：根据向量加法与向量减法的几何意义又知，、分别表示上述平行四边形中两条对角线的长度。注意到与的夹角为锐角，故此平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为①又=4+16-2×2×4cos=1217∴=2②于是由①、②知所求为.4、（2005·湖北卷）已知向量=(-2，2)，=(5，k),若不超过5，则k的取值范围为.分析：由已知得若≤5，则9+（k+2）2≤25∴由此解得-6≤k≤2，故应填[-6，2]5、（2004·浙江卷）已知平面上三点A、B、C满足，,,则的值等于。分析：从认知ΔABC切入，由32+42＝52知，∴∴原式====-256、（2005·全国卷A）ΔABC的外接圆圆心为0，两条边上的高的交点为H，=m(++),则实数m=。分析：由题设知，O为ΔABC的外心，即O是ΔABC的三边中垂线的交点，因此，以与为邻边作平行四边形OADC，则OADC为菱形，且+=∴⊥⊥(+)∴++的终点必在AC边的高线上①18同理，++的终点在AB边的高线上②∴由①、②得++的终点为△ABC的垂心