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第2讲空间中的平行与垂直感悟高考明确考向(2010·安徽)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求四面体B－DEF的体积．(1)证明如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H为BC的中点，故GH綊12AB.又EF綊12AB，∴EF綊GH.∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH.而EG⊂平面EDB，FH⊄平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)解∵EF⊥FB，∠BFC＝90°∴BF⊥平面CDEF.∴BF为四面体B－DEF的高．又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝2.VB－DEF＝13×12×1×2×2＝13.考题分析本题主要考查空间线面关系，线面平行的判定和线面垂直的判定．考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题突出考查立体几何的基本知识和思想方法以及考生推理论证的能力．易错提醒(1)不能准确运用线面平行的判定定理，易漏掉条件：FH⊄平面EDB.(2)线面关系的转化运用不熟练，如要证AC⊥平面DEB，可转化为证明AC⊥BD，AC⊥EG.(3)不能正确确定三棱锥的底面和高．(4)书写解题过程混乱，条件不充分，表达不规范．主干知识梳理1．点、线、面的位置关系(1)公理1∵A∈α，B∈α，∴AB⊂α.(2)公理2∵A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平面．三个推论：①过两条相交直线有且只有一个平面．②过两条平行直线有且只有一个平面．③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面．(3)公理3∵P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l.(4)公理4∵a∥c，b∥c，∴a∥b.(5)等角定理∵OA∥O1A1，OB∥O1B1，∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.2．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α.(2)线面平行的性质定理∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b.(3)面面平行的判定定理∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β.(4)面面平行的性质定理∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.3．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α.(2)线面垂直的性质定理∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b.(3)面面垂直的判定定理∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.(4)面面垂直的性质定理∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.4．异面直线所成的角(1)定义．(2)范围：θ∈(0，π2]．(3)求法：先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求的角．5．直线与平面所成的角(1)定义．(2)范围：θ∈[0，π2]．(3)求法：先找到(或作出)过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得．6．二面角(1)定义．(2)范围：θ∈[0，π]．(3)找二面角平面角的方法①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法．垂线法是最重要的方法，具体步骤如下：①弄清该二面角及它的棱．②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线(往往先找垂面再找垂线)．③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角(或其补角)就是该二面角的平面角．④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．热点分类突破题型一线线、线面的平行与垂直例1如图所示，正三棱柱A1B1C1—ABC中，点D是BC的中点，BC＝2BB1，设B1D∩BC1＝F.求证：(1)A1C∥平面AB1D；(2)BC1⊥平面AB1D.思维启迪本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第(1)问可利用“线线平行”或“面面平行”，第(2)问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”．证明(1)连结A1B，设A1B与AB1交于E，连结DE.∵点D是BC中点，点E是A1B中点，∴DE∥A1C，∵A1C⊄平面AB1D，DE⊂平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2)∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面B1BCC1，平面ABC∩平面B1BCC1＝BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面B1BCC1，∵BC1⊂平面B1BCC1，∴AD⊥BC1.∵点D是BC的中点，BC＝2BB1，∴BD＝22BB1.∵BDBB1＝CC1BC＝22，∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1.∴∠BDB1＝∠BC1C.∴∠FBD＋∠BDF＝∠C1BC＋∠BC1C＝90°.∴BC1⊥B1D.∵B1D∩AD＝D，∴BC1⊥平面AB1D.探究提高线面平行、线面垂直的证明是立体几何的基本功，备考中要加强训练，熟练运用，在运用中体会判定定理条件的运用，包括思路分析、方法确认，书写表达规范．新课标考试说明对立体几何的要求有所降低，这只是在知识应用方面有所降低，但是表达规范性上提出了更高的要求，一定要推理充分，论证有力，思路清晰，逻辑严密．变式训练1如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.求证：(1)PA∥平面BDE；(2)AC⊥平面PBD.证明（1）设AC∩BD＝H，连结EH，在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又由题设，知E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE，且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.题型二面面平行与垂直例2如图所示，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AB＝a，F、F1分别是AC、A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.思维启迪(1)证平面AB1F1内有两条相交直线与平面C1BF平行．(2)可证B1F1⊥平面ACC1A1.证明(1)在正三棱柱ABC—A1B1C1中，∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.又∵B1F1∩AF1＝F1，BF∩C1F＝F，B1F1、AF1⊂面AB1F1，BF、C1F⊂面C1BF，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，F1是A1C1的中点．∴B1F1⊥AA1，B1F1⊥A1C1.又∵A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1探究提高(1)要证两平面平行，常根据：“如果一个平面内有两相交直线分别和另一平面平行，那么这两个平面平行”或“一个平面内两相交直线分别与另一平面内两相交直线平行，那么这两个平面平行”，还可以利用线面垂直的性质，即“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(2)要证明两平面垂直，常根据“如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直”．从解题方法上说，由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行．变式训练2(2009·山东)如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.证明(1)方法一取A1B1的中点F1.连结FF1，C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连结A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊CD，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此，A1D∥F1C，又EE1∥A1D，得EE1∥F1C.而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1.故EE1∥平面FCC1.方法二因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1.所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.(2)连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB.因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，所以AC⊥平面BB1C1C.而AC⊂平面D1AC，故平面D1AC⊥平面BB1C1C.题型三平面图形的折叠问题例3如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE.(2)求三棱锥E—ABD的侧面积．思维启迪(1)证明在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠DAB＝23.∴AB2＋BD2＝AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)解由(1)知AB⊥BD.∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝23，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝12DB·DE＝23.又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝12AB·BE＝4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE＝12AD·DE＝4.综上，三棱锥E—ABD的侧面积S＝8＋23.探究提高(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．变式训练3如下图(1)所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD(图(2))．(1)求证：AP∥平面EFG；(2)在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明．(1)证明∵E、F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理：EG∥平面PAB.∴平面EFG∥平面PAB.∴AP∥平面EFG.(2)解取PB的中点Q，连结AQ，QD，则PC⊥平面ADQ.连结DE，EQ，∵E、Q分别是PC、PB的中点，∴EQ∥BC∥AD.∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD.∴PD⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面PDC.∴AD⊥PC.在△PDC中，PD＝CD，E是PC的中点．∴DE⊥PC，∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ.1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化．在证明平行或垂直的问题中，认真体会“转化”这一数学思想方法．不仅要领悟“平行”“垂直”内部间的转化，还要注意平行与垂直之间的转化关系．2．弄清各类问题的关键点，把握问题的层次，重视容易忽视的问题