2.圆的内接四边形

二.圆内接四边形的性质与判定定理CODBA圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等．推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，９０°的圆周角所对的弦是直径．例2．如图，AB与CD相交于圆内一点P．求证：的度数与的度数和的一半等于∠APD的度数．»AD»BCDABPCE分析：由于∠APD既不是圆心角，也不是圆周角，为此我们需要构造一个与∠APD相等的圆心角或圆周角，以便利用定理．证明：如图，过点C作CE//AB交圆于E，则有∠APD＝∠C.ABCOOCABDABCFED·O１．定义：如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.一定理的探究思考:探究：观察下图，这组图中的四边形都内接于圆．你能发现这些四边形的共同特征吗？特殊到一般的方法!（1）任意三角形都有外接圆吗？那么任意四边形有外接圆吗?（3）任意矩形是否有外接圆?（2）一般地,任意四边形都有外接圆吗?CODBA1.如图：圆内接四边形ABCD中，∵弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角.∴∠A＋∠C＝180°同理∠B＋∠D＝180°2圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理１：圆的内接四边形的对角互补．2.圆内接四边形的性质定理CO.DBAE圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．圆内接四边形的性质定理１：圆的内接四边形的对角互补．圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．3四边形存在外接圆的判定定理OCABDE已知：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°,求证：A、B、C、D在同一圆周上（简称四点共圆）.OCABD分析：不在同一直线上的三点确定一个圆．经过A、B、C三点作⊙O，如果能够由条件得到⊙O过点D，那么就证明了命题．显然，⊙O与点D有且只有三种位置关系:(1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上．只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题．OCABDOCABD分类讨论思想反证法3四边形存在外接圆的判定定理OCABDEOCABDE(1)如果点D在⊙O的外部．设E是AD与圆周的交点，连接EC，则有∠AEC+∠B=180°.由题设∠B+∠D=180°,可得∠D=∠AEC．这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾，故点D不可能在⊙O的外部．（2）如果点D在⊙O的内部．显然AD的延长线必定与圆相交，设交点为E，连接EC，则有∠E+∠B=180°.由题设∠B+∠ADC=180°,可得∠E=∠ADC．这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾，故点D不可能在⊙O的内部．证明：(分类讨论思想及反证法)综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆．圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．说明：在此判定定理的证明中，用到了分类讨论的思想和反证法．又当问题的结论存在多种情形时，通过对每一种情形分别讨论，最后获得结论的方法，称为穷举法．于是圆内接四边形判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．ABCDOEOCABD应用格式：在四边形ABCD中，∵A+C=180°,∴四点A,B,C,D共圆．应用格式：在四边形ABCD中，∵∠A=∠DCE,∴四点A,B,C,D共圆．3四边形存在外接圆的判定定理1、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°,则∠BAD=,∠BCD=.练习：ABCDO2、圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,则∠A=∠B=∠C=∠D=50º130º60º90º120º90º3、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE=75º，则∠BOD=150ºABCDOE设A=2x,则C=4x.∵A+C=180º,∴x=30º.二定理的应用例1：如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点.经过点A的直线CD与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.经过点B的直线EF与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F.求证：CE∥DF.O１O2FABECD分析：只要证明同旁内角互补即可！并利用圆内接四边形的性质定理．证明：连接AB．∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠BAD＝∠E．又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形，∴∠BAD+∠F=180º．∴∠E+∠F=180º．∴CE//DF．变式1：如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点．过A点的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE//DF.EDCFABO1O2变式2:如图,⊙O1和⊙O2有两个公共点A﹑B．过A﹑B两点的直线分别交⊙O1于C、E,交⊙O2于D、F，且CD∥EF．求证：CE=DF．CEABDFO1O2由例1可知:CE//DF,又∵CD//EF,∴DCEF为平行四边形．∴CE=DF.例２.如图,CF是△ABC的AB边上的高,FP⊥BC,FQ⊥AC.求证:A、B、P、Q四点共圆．∵FP⊥BC,FQ⊥AC，∴∠FQA＝∠FPC．证明：连接PQ．在四边形QFPC中，∴Q、F、P、C四点共圆．∴∠QFC＝∠QPC．又∵CF⊥AB，∴∠QFC＋∠QFA＝90°．而∠A＋∠QFA＝90°．∴∠QFC＝∠A．∴∠QPC＝∠A．∴A、B、P、Q四点共圆．CQPBFA1、(1)圆内接平行四边形一定是形.(2)圆内接梯形一定是形.(3)圆内接菱形一定是形.矩等腰梯正方练习2：2.如果四边形一边上的两个顶点的视角相等，那么四边形的四个顶点共圆．DCBA已知：如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB.求证:A、B、C、D四点共圆．分析:要用圆内接四边形判定定理或推论,无法找到足够的条件,即直接方法不易证明,于是仿照判定定理的证明用反证法.DCBADCBAEDCBAE已知：如图，四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB.求证:A、B、C、D四点共圆.证明：由三点A、B、D可以确定一个圆，设该圆为⊙O．(1)如果点C在⊙O的外部.连接BC,与圆交于点E．则∠ADB=∠AEB.∵∠ADB=∠ACB,∴∠ACB=∠AEB与∠AEB∠ACB相矛盾．故点不可能在圆外．(２)如果点C在⊙O的内部.延长BC与圆交于点E．连接AE.则∠ADB=∠AEB.∵∠ADB=∠ACB,∴∠ACB=∠AEB与∠ACB∠AEB相矛盾．故点不可能在圆内．综合(1),(2)可知，点C只能在圆上．即A、B、C、D四点共圆．课堂小结:1圆内接四边形的性质3、解题时应注意两点：（1）注意观察图形，分清四边形的外角和它的内对角的位置，不要受背景的干扰.（2）证题时，常需添辅助线-----两圆共有一条弦，构造圆内接四边形.4、思想和方法:分类讨论思想,反证法.2圆内接四边形的判定作业：课本第30页习题2.2第1、2、3题.