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1．电视机显像管批量生产的质量标准是平均使用寿命为1200小时，标准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定的标准。为了进行验证，随机抽取了100件为样本，测得平均使用寿命l245小时。能否说该厂的显像管质量显著地高于规定的标准?(1)给出上题的原假设和被择假设；(2)构造适当的检验统计量，并进行假设检验，分析可能会犯的错误(取=0.05)。(3)若要拒绝原假设，样本平均寿命至少要达到多少？此时可能会犯哪类错误，大小如何?解：(1)0H：≤1200，1H：1200(2)检验问题属于大样本均值检验，因此构造检验统计量如下：0/xzn由题知：0=1200，=300，n=100，x=1245，检验统计量的z值为0124512001.5300/100xzn取=0.05时，拒绝域为0.05zzz=1．645。因为z=1．51．645，故落人接受域，这说明我们没有充分的理由认为该厂的显像管质量显著地高于规定的标准。(3)由上题的分析可知，拒绝域为0.05zzz=1．645，这要求：01.645/xzzn则有：03001.64512001.645100xn=1249．35这说明只有样本均达到1249．35以上时，我们才能有充分的理由认为该厂的显像管质量显著地高于规定的标准，这时我们犯错的概率为0．05。2．由于时间和成本对产量变动的影响很大，所以在一种新的生产方式投入使用之前，生产厂家必须确信其所推荐的新生产方法能降低成本。目前生产中使用的生产方法成本均值为每小时200元。对某种新的生产方法，测量其一段样本生产期的成本。解：(1)0H：200，1H：200(2)当不能拒绝0H时，说明我们没有充分的证据认为新的生产方法比原来的方法在生产成本上有显著降低，但此时我们可能犯第lI类错误，即实际上新的生产方法确实比原来的方法在生产成本上有显著降低，我们对犯该类错误的概率没有进行控制。(3)当可以拒绝0H时，说明新的生产方法比原来的生产方法在生产成本上有显著降低，但此时我们可能犯第1类错误，即可能新的生产方法比原来的方法在生产成本上并没有显著降低，但由于样本随机性的原因，使检验统计量的值落入拒绝域，我们对这一类错误给予了控制，这就是显著性水平。3．某种生产线的感冒冲剂规定每包重量为12克，超重或过轻都是严重问题。筌兰去的资料得知一是0．6克，质检员每两小时抽取25包冲剂称重检验，并作出是否停工的决策。假定产品重量服从正态分布。(1)建立适当的原假设和备选假设。(2)在=0.05时，该检验的决策准则是什么？(3)如果x=12.25克，你将采取什么行动？(4)如果x=11.95克，你将采取什么行动？解：(1)0H：12，1H：12(2)这是小样本总体均值检验问题，且方差2已知。检验统计量为0/xzn在=0.05时，临界值/2z=1．96，故拒绝域为|z|1．96。(3)当x=12．25克，12.25120.6/25z=2．08由于|z|=2.081．96，拒绝0H：12。应该对生产线停产检查。(4)当x=11．95克，11.95120.6/25z=一0．42由于|z|=0.421.96，不能拒绝0H：12。不应该对生产线停产检查。4．某厂生产需用玻璃纸做包装，按规定，供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不应低于65。已知该指标服从正态分布，一直稳定于5．5。从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值x=55.06，试问：(1)在=0.05水平上能否接收这批玻璃纸？并分析检验中会犯哪类错误。(2)抽查的100个样本的样本平均值为多少时可以接收这批玻璃纸，此时可能犯的错误属于哪种类型？解：(1)0H：65，1H：65该检验问题为大样本总体均值检验，且方差已知，故检验统计量为0/xzn在=0．05水平上，1z=一1．645，故拒绝域为z一1．645由已知得：055.066518.071.645/5.5/100xzn故应拒绝原假设，不能接收这批玻璃纸。此时可能会犯第1类错误，即本来这批玻璃纸是符合标准的，但由于抽样的随机性使得样本检验统计量的值落入了拒绝域，从而拒绝接收该批玻璃纸。但这个犯错概率是受到控制的，其出错概率不会超过显著性水平=0．05。(2)接受该批玻璃纸，检验统计量值应满足：01.645/xzn此时，01.645651.6455.5/100xn=64．095也就是说，检验统计量的值在64．095以上时，才可以接受该批玻璃纸。此时可能犯第Ⅱ类错误，即可能会接受没有达到标准的玻璃纸，并且无法确定这个出错概率。5．已知某种零件的尺寸服从正态分布，现从一批零件中随机抽取16只，测得其长度(厘米)如下：15．114．514．814．615．214．814．914．614．815．115．314．715．015．215．114．7(1)若要求该种零件的标准长度应为15毫米，检验这批零件是否符合标准要求。(=0．05)(2)若已知方差为0．09，问该批零件是否符合标准要求。解：(1)先计算出样本均值和标准差，结果如下：238.416ixxn=14．9(厘米)2()0.921161ixxsn=0．248(厘米)提出假设：0H：15，1H：15。已知总体服从正态分布，但2未知，可以用样本方差2s代替，所以检验统计量为014.915.00.10.062/0.248/16xtsn=一1．6129根据假设，这是个双侧检验问题，由=0．05，查t分布表得/20.025(1)(15)tnt=2．131。由于|t|=1.6129/2t=2．131，所以接受原假设0H，即可以认为该批零件符合标准要求。(2)若已知方差为0．09，则该检验问题的原假设和备择假设不变，而检验统计量变为0/xzn在显著性水平为=0．05时，/2z=1．96，拒绝域为|Z|/2z=1．96。由已知数据得检验统计量值为014.915/0.3/16xzn=一1．333由于|z|=1．333/2z，所以接受原假设0H，即可以认为该批零件符合标准要求。6．某灯泡厂灯泡的合格标准为灯泡的使用寿命至少为1000小时，现从该厂生产的一批灯泡中随机抽取15只，测得其寿命(小时)如下：10409909649451026933987103699594,81014931104510101004假定灯泡寿命服从正态分布，取显著性水平为=0．05，试考虑分别用左侧检验和右侧检验来验证该厂声称“灯泡平均使用寿命在1000小时以上”这一说法是否成立。解：先计算出样本均值和标准差，结果如下：1486815ixxn=991．2(小时)2()21316.439.02114ixxsn(小时)若根据以往经验，我们对该厂的灯泡质量比较信任，认为大部分情况下该厂的灯泡质量是可以达到标准的，这时我们控制的错误是“本来该厂灯泡的质量达到了标准而检验认为该厂的灯泡质量没有达到标准”，这个出错概率被控制在小于=0．05的水平下。此时假设形式为左侧假设：0H：1000，1H：1000。这里2未知，可以用样本方差2s代替，所以检验统计量为0991.210008.810.075/39.02/15xtsn=一0．873456根据假设，这是个单侧检验问题，由=0．05，查t分布表得0.05(1)(14)tnt=1.7613。由于t=一0．873456一t=一1．7613，所以接受原假设，即该厂的说法是成立的。若根据以往经验，我们对该厂的灯泡质量不太信任，认为大部分情况下该厂的灯泡质量达不到标准，这时我们控制的错误是“本来该厂的灯泡质量并没有达到标准，而检验认为该厂的灯泡质量达到了标准水平”，我们把这个出错概率控制在小于=0．05的水平下。此时假设形式为右侧假设：0H：1000，1H：1000。这里检验统计量与上面的情况是一样的，应为0991.210008.810.075/39.02/15xtsn=一0．873456但这时拒绝域为tt=1．7613，显然t=一0．873456t=1．7613，所以接受原假设，即不能认为该厂的灯泡质量符合标准。7．某洗涤剂厂有一台瓶装洗洁精的灌装机，在生产正常时，每瓶洗洁精的净重服从正态分布，均值为454克，标准差为12克。为检查近期机器是否正常，从中抽出16瓶，称得其净重的平均值为x=456．64克。(1)试对机器正常与否作出判断。(取=0．01，并假定盯。不变)(2)若标准差未知，但测得16瓶洗洁精的样本标准差为s=12g，试对机器是否正常作出判断。(取=0．01)解：(1)0H：454，1H：454。在=0．01时，/20.005zz=2．58，从而拒绝域为|z|≥2．58。现由样本求得456.6445412/16z=0．88由于|z|2．58，故不能拒绝H。，即认为机器正常。(2)当方差未知时，假设形式与上一问是相同的，只是检验统计量变为0456.64454/12/16xtsn=0．88在=0．01时，/20.005(1)(15)tnt=2．9467，拒绝域为|t|≥2．9467。由于|t|=0．882．9467，故不能拒绝H。，即认为机器正常。8．某厂产品的优质品率一直保持在40％，近期技监部门来厂抽查，共抽查了15件产品，其中优质品为5件，在=0．05水平上能否认为其优质品率仍保持在40％?解：0H：=0．4，1H：≠0．4检验统计量为(1)pzn在=0．05水平上，拒绝域为|z|/2z=1．96，由已知数据得检验统计量：5/150.40.52705(1)0.4(10.4)15pzn由于|z|=0．527/2z=1．96，故接受原假设，即可以认为该厂产品优质品率保持在40％。9．已知某种木材的横纹抗压力服从正态分布，该种木材的标准抗压力应不小于470kg／cm。，现对某木材厂的10个试件作横纹抗压力试验，得数据如下：(kg／cm。)482493457471510446435418394469(1)若已知该木材的横纹抗压力的标准差=36，试检验该厂的木材是否达到标准。(=0．05)(2)若该木材的横纹抗压力的标准差口未知，试检验该厂的木材是否达到标准。(=0．05)解：(1)0H：470，1H：470由于方差已知，且样本为小样本，检验统计量为0/xzn拒绝域为z一z=—0.05z=一1．645由已知计算得：0457.5470/36/10xzn=—1．098由于z=一1．098一0.05z，故接受原假设，即可认为该厂的木材达标。(2)0H：470，1H：470此时方差未知，且样本为小样本，检验统计量为0/xtsn拒绝域为t一0.05(1)(101)atnt=一1．833由已知计算得：0457.5470/35.22/10xtsn=一1．122由于t=一1．122一0.05(9)t，故接受原假设，即可认为该厂木材达标。10．某家公司付给生产一线雇员的平均工资是每小时15美元。该公司正计划建造一座新厂，备选厂址有好几个地方。但是，能够获得每小时至少15美元的劳动力是选定厂址的主要因素。某个地方的40名工人的样本显示：最近每小时平均工资是x=14美元，样本标准差是s=2．4美元。问在=0．01的显著性水平下，样本数据是否说明在这个地方的工人每小时的平均工资大大低于15美元?解：0H：15，1H：15检验统计量为0/xzn拒绝域为z一z=—0.01z=一2．33由已知计算得：01415/2.4/40xzn=一2．635由于z