2015创新设计(高中理科数学)第11讲 导数在研究函数中的应用

结束放映返回概要获取详细资料请浏览：知识与方法回顾技能与规律探究知识梳理经典题目再现结束放映返回概要获取详细资料请浏览：＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)0，则f(x)在这个区间内．(2)若f′(x)0，则f(x)在这个区间内．(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是．单调递增单调递减常数函数2.函数的极值与导数极大值函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧，右侧，则x0为函数的极大值点，f(x0)叫函数的极大值极小值函数y＝f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，若在点x0附近左侧，右侧，则x0为函数的极小值点，f(x0)叫函数的极小值f′(x)0f′(x)0f′(x)0f′(x)0结束放映返回概要获取详细资料请浏览：函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的．②将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中的一个是最大值，的一个是最小值．连续不断极值端点处的函数值f(a)，f(b)最大最小结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页(1)f′(x)0是f(x)为增函数的充要条件．()(2)函数在其定义域内离散的点处导数等于0不影响函数的单调性．()(3)(2012·辽宁卷改编)函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为(0,1]．()1.导数与单调性的关系(4)函数的极大值不一定比极小值大．()(5)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(6)(2012·陕西卷改编)函数f(x)＝xex在x＝－1处取得极小值．()2.导数与极值的关系问题(7)函数在开区间一定不存在最大值和最小值．()(8)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(9)(2014·郑州调研改编)函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是e－1.()3.关于闭区间上函数的最值问题结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念．极大值与极小值没有必然的大小关系，如(4)．一点提醒一是f′(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．如(1)．二是对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．如(5)．两个条件一是求单调区间时应遵循定义域优先的原则．二是函数的极值一定不会在定义域区间的端点取到．三是求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论．不可想当然认为极值就是最值，如(8).三点注意结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页解(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)ex－x2，∴f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．令f′(x)0，即x(ex－2)0，∴xln2或x0.令f′(x)0，即x(ex－2)0，∴0xln2.因此函数f(x)的递减区间是(0，ln2)；递增区间是(－∞，0)和(ln2，＋∞)．【例1】(2013·广东卷改编)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2.(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．利用导数研究函数的单调性结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页(2)易知f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2kx＝x(ex－2k)．∵f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，∴当x≥0时，f′(x)＝x(ex－2k)≥0恒成立．∴ex－2k≥0，即2k≤ex恒成立．由于ex≥1，∴2k≤1，则k≤12.又当k＝12时，f′(x)＝x(ex－1)≥0当且仅当x＝0时取等号．因此，实数k的取值范围是－∞，12.【例1】(2013·广东卷改编)设函数f(x)＝(x－1)ex－kx2.(1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．利用导数研究函数的单调性(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题(2)问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．规律方法结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页【训练1】已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．解(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.由f′(x)≥0，得a≤32x－1x.记t(x)＝32x－1x，则t′(x)＝321＋1x2，所以当x≥1时，t(x)是增函数，∴t(x)min＝32(1－1)＝0.∴a≤0.故实数a的取值范围是(－∞，0]．利用导数研究函数的单调性结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页【训练1】已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间．(2)由题意，得f′(3)＝0，即27－6a－3＝0，∴a＝4.∴f(x)＝x3－4x2－3x，f′(x)＝3x2－8x－3.令f′(x)＝0，得x＝－13或3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－13－13－13，33(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴f(x)的单调递增区间为－∞，－13，[3，＋∞)；f(x)的单调递减区间为－13，3.利用导数研究函数的单调性结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页解(1)由f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，∴f′(x)＝ax－12x2＋32.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，∴该切线斜率为0，即f′(1)＝0.从而a－12＋32＝0，∴a＝－1.利用导数研究函数的极值【例2】设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．审题路线(1)由f′(1)＝0⇒求a的值．结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页(2)由(1)知，f(x)＝－lnx＋12x＋32x＋1(x0)，∴f′(x)＝－1x－12x2＋32＝3x＋1x－12x2.令f′(x)＝0，解得x＝1或－13(舍去)．当x∈(0,1)时，f′(x)0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．故f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3，f(x)无极大值．利用导数研究函数的极值【例2】设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．审题路线(1)由f′(1)＝0⇒求a的值．(2)确定函数定义域⇒对f(x)求导，并求f′(x)＝0⇒判断根左，右f′(x)的符号⇒确定极值．结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．规律方法利用导数研究函数的极值【例2】设f(x)＝alnx＋12x＋32x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页【训练2】已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．解(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b.又1和－1是函数f(x)的两个极值点，∴f′1＝3＋2a＋b＝0，f′－1＝3－2a＋b＝0.解得，a＝0，b＝－3.(2)由(1)知，f(x)＝x3－3x，g′(x)＝x3－3x＋2.由g′(x)＝0，得(x－1)2(x＋2)＝0，∴g′(x)＝0的根为x＝－2或1.当x－2时，g′(x)0；当－2x1时，g′(x)0.∴x＝－2是函数g(x)的极小值点．当－2x1或x1时，g′(x)0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极小值点为－2，无极大值点．利用导数研究函数的极值结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页利用导数求函数的最值【例3】(2012·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．审题路线解(1)因f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b，由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，故有f′2＝0，f2＝c－16，即12a＋b＝0，8a＋2b＋c＝c－16.化简得12a＋b＝0，4a＋b＝－8，解得a＝1，b＝－12.(1)f′2＝0，f2＝c－16⇒a，b的值；(2)求导确定函数的极大值⇒求得c值⇒求得极大值、极小值、端点值⇒求得最值．结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页利用导数求函数的最值【例3】(2012·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，得x＝－2或2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－2)－2(－2,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)9＋c↗极大值↘极小值↗－9＋c由表知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，f(x)在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.由题设条件知，16＋c＝28，解得c＝12，此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.结束放映返回概要获取详细资料请浏览：页利用导数求函数的最值【例3】(2012·重庆卷)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.(1)求a，b的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．规律方法在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0