搜索
第一章集合与常用逻辑用语第二节命题及其关系、充分条件与必要条件课前学案基础诊断课堂学案考点通关高考模拟备考套餐1.理解命题的概念。2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。考纲导学3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。夯基固本基础自测课前学案基础诊断1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以□1____________的陈述句叫做命题。其中□2____________的语句叫真命题，□3____________的语句叫假命题。判断真假判断为真判断为假2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系若綈p,则綈q若q，则p若綈q,则綈p(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有□7____的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性□8__________。相同无关3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，那么p是q的□9____________，q是p的□10__________。(2)如果p⇒q，q⇒p，那么p是q的□11__________。充分条件必要条件充要条件1个区别——“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别“A是B的充分不必要条件”中，A是条件，B是结论；“A的充分不必要条件是B”中，B是条件，A是结论。在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别。2条规律——四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假。(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假。同时要关注“特例法”的应用。3种方法——判断充分条件和必要条件的方法(1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法。1．下列命题是真命题的为()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：由1x＝1y得x＝y，A正确，易知B、C、D错误，故选A。答案：A2．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π4解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”，故选C。答案：C3．设集合A，B，则“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由A⊆B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此，“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件，故选C。答案：C4．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝3时A＝{1,3}显然是B的子集，但A⊆B时，a＝3或者a＝2，故为充分不必要条件。答案：A5．给定两个命题p，q，若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由q⇒綈p且綈pA⇒/q可得p⇒綈q且綈qA⇒/p，所以p是綈q的充分不必要条件。答案：A考点例析通关特训课堂学案考点通关考点一四种命题间的关系【例1】(1)命题“若x＞1，则x＞0”的否命题是()A．若x＞1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x≤1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数解析：(1)因为“x＞1”的否定为“x≤1”，“x＞0”的否定为“x≤0”，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题为：“若x≤1，则x≤0”。(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”。答案：(1)C(2)C►名师点拨判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题。(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用。通关特训1对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是()A．逆命题为“周期函数不是单调函数”B．否命题“单调函数是周期函数”C．逆否命题“周期函数是单调函数”D．以上三者都不正确解析：将原命题改写成“若p则q”的形式为“若一个函数是单调函数，则这个函数不是周期函数”。其逆命题为“若一个函数不是周期函数，则这个函数是单调函数”，故A错；否命题为“若一个函数不是单调函数，则这个函数是周期函数”，故B错；逆否命题为“若一个函数是周期函数，则这个函数不是单调函数”，故C错，故选D。答案：D考点二命题的真假判断【例2】(1)已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题(2)下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题解析：(1)命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题。(2)A中逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题；B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题。答案：(1)D(2)A►名师点拨命题的真假判断方法(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可。(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假。通关特训2下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60°”的逆否命题；④“若x≤－3，则x2＋x－6＞0”的否命题；⑤“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题。其中真命题的序号是__________(把所有真命题的序号填在横线上)。解析：①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；②“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”，而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；③由于原命题“正三角形的三个角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题；④易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假；⑤逆否命题为“a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”为真命题。答案：②③⑤考点三充分条件、必要条件的判断【例3】(1)[2014·湖北]设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要的条件B．必要不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件(2)设a，b∈R，则“ab”是“a|a|b|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”⇔“A∩B＝∅”。选C。(2)构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数。因为f(x)＝x2，x≥0，－x2，x0，所以函数f(x)在R上单调递增，所以ab⇔f(a)f(b)⇔a|a|b|b|。选C。答案：(1)C(2)C►名师点拨充要条件问题的常见类型及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系。解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系。(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件。解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性。(3)充要条件与命题真假性的交汇问题。依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可。通关特训3(1)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的”()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|解析：(1)ln(x＋1)＜0⇔0＜x＋1＜1⇔－1＜x＜0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件。(2)当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－sin2x，过原点，当φ＝2π也满足题意，故答案为充分不必要条件。(3)a|a|，b|b|分别是与a，b同方向的单位向量，由a|a|＝b|b|，得a与b的方向相同。而a∥b时，a与b的方向还可能相反。故选C。答案：(1)B(2)A(3)C考点四充分条件、必要条件的应用【例4】(1)已知p：1x－1＜1，q：x2＋(a－1)x－a＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．(－2，－1]B．[－2，－1]C．[－3,1]D．[－2，＋∞)(2)已知条件p：4x－1≤－1，条件q：x2－x＜a2－a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是__________。解析：(1)不等式1x－1＜1等价于1x－1－1＜0，即x－2x－1＞0，解得x＞2或x＜1，所以p为(－∞，1)∪(2，＋∞)。不等式x2＋(a－1)x－a＞0可以化为(x－1)(x＋a)＞0，当－a≤1时，解得x＞1或x＜－a，即q为(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此时a＝－1；当－a＞1时，不等式(x－1)(x＋a)＞0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此时－a＜2，即－2＜a＜－1。综上可知a的取值范围为(－2，－1]。(2)由4x－1≤－1，得－3≤x＜1.由x2－x＜a2－a，得(x－a)[x＋(a－1)]＜0，当a＞1－a，即a＞12时，不等式的解为1－a＜x＜a；当a＝1－a，即a＝12时，不等式的解为∅；当a＜1－a，即a＜12时，不等式的解为a＜x＜1－a。由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，即p为q的一个必要不充分条件，即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集。当a＞12时，由{x|1－a＜x＜a}{x|－3≤x＜1}，得－3≤1－a，1≥a，解得12＜a≤1；当a＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a＜12时，由{x|a＜x＜1－a}{x|－3≤x＜1}，得－3≤a，1≥1－a，解得0≤a＜12。综上，a的取值范围是[0,1]。答案：(1)A(2)[0,1]►名师点拨集合法与等价转化法的应用(1)利用集合间的关系判断充要条件的方法记法条件p、q对应的集合分别为A、B关系A⊆BB⊆AABBAA＝BAB且BA结论p是q的充分条件p是q的必要条件p是q的充分不必要条件