正余弦定理知识点权威总结

正余弦定理知识点权威总结：一、正弦定理和余弦定理1、定理正弦定理余弦定理2、内容1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、、C的对边，R为C的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcRC．2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbcaacBcababC3、推论①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;②sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR;③a:b:c=sinA:sinB:sinC;④sinsinsinsinabcaABCA222222222cos;2cos;2cos.2bcaAbcacbBcaabcCab4、注意（1）在△ABC中，已知A,a,b，讨论三角形解的情况先由aAbBsinsin可进一步求出B；则C=180°-(A+B),从而ACacsinsin（2）在ΔABC中，sinAsinB是AB的充要条件。（∵sinAsinB22abRRabAB）由余弦定理判断三角形的形状a2=b2+c2A是直角△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2A是钝角△ABC是钝角三角形，a2＜b2+cA是锐角/△ABC是锐角三角形。（注意：A是锐角/△ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）5、三角形面积公式三角形面积公式：①111sinsinsin222CSbcabCac；②prcpbpappSABC))()((，其中2cbap，r为内切圆半径；③RabcSABC4，R为外接圆半径．6、已知两边和其中1.当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解．2.当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况（1）若a＞bsinA，则有两解；（2）若a=bsinA，则只有一解；（3）若a＜bsinA，则无解．注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且bsinA＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A为直角或钝角（2）A为锐角7、解三角形的一般思路：（1）已知两角及一边，利用正弦定理求解；（2）已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一；（3）已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；（4）已知三边，利用余弦定理求解.8、方法与技巧总结1、已知两角A、B，一边a,由A+B+C=π及sinsinsinabcABC，可求角C，再求b、c；2、已知两边b、c与其夹角A，由a2=b2+c2-2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B、C；3、已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C；4、已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理sinsinabAB，求出另一边b的对角B，由C=π-(A+B)，求出c，再由sinsinacAC求出C，而通过sinsinabAB求B时，可能出一解，两解或无解。二、例题精讲&变式练习考点一：运用正余弦定理解三角形例题1：在△ABC中，a＝23，b＝6，A＝30°，解三角形．变式1：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，则c等于()A．1B．2C.3－1D.3变式2：在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形．规律小结：对于已知两边及其中一边的对角，或者已知两个角以及任意一边的情况下，套用正弦定理，可以直接求出对应的角或边．考点二：运用余弦定理解三角形例题2：在ABC中，已知23a，62c，B=45°，求b及A变式1：在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.规律小结：在已知两边及夹角可利用余弦定理求出第三边；在已知三边的情况下，可利用余弦定理求出任意边所对的角。考点三：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的性状及求取值范围〖例2〗（1）（10上海文）若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC则△ABCA．一定是锐角三角形.B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形.D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由sin:sin:sin5:11:13ABC及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos222c，所以角C为钝角（2）在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcosA的值等于______，AC的取值范围为________．解析：由正弦定理得ACsin2A＝BCsinA.即AC2sinAcosA＝1sinA.∴ACcosA＝2.∵△ABC是锐角三角形，∴0＜A＜π2，0＜2A＜π2，0＜π－3A＜π2，解得π6＜A＜π4.由AC＝2cosA得AC的取值范围为(2，3)．答案：2(2，3)1．在△ABC中，若acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形答案B解析由正弦定理知：sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.2．在△ABC中，sinA＝34，a＝10，则边长c的取值范围是()A.152，＋∞B．(10，＋∞)C．(0,10)D.0，403答案D解析∵csinC＝asinA＝403，∴c＝403sinC．∴0c≤403.3．在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案A解析由正弦定理：sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.4、在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴cosB＋12＝a＋c2c，∴cosB＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．答案：B例题3：在ABC中，若60B，cab2，试判断ABC形状变式1：在ABC中，已知2cossinsin2ACB，则ABC为三角形．变式2：在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，试判断三角形的形状．变式3：在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状．变式4：在三角形ABC中，若acosB=bcosA，试判断这个三角形的形状变式5：在△ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形形状．解：由正弦定理可知a/sinA=b/sinB=k则a=ksinA，b=ksinB代入（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），并把k约分（sin2A+sin2B）sin（A-B）=（sin2A-sin2B）sin（A+B）sin2Asin（A-B）+sin2Bsin（A-B）=sin2Asin（A+B）-sin2Bsin（A+B）sin2A[sin（A+B）-sin（A-B）]=sin2B[sin（A-B）+sin（A+B）]利用和角公式，整理有sin2A2cosAsinB=sin2B2sinAcosBsin2A2cosAsinB-sin2B2sinAcosB=0sinAsinB（2sinAcosA-2sinBcosB）=0sinAsinB（sin2A-sin2B）=0sinA＞0，sinB＞0所以sin2A=sin2B2A=2B或2A+2B=180度A=B或A+B=90度所以是等腰三角形或直角三角形规律小结：判断三角形形状的题型中，常常只给出三边的关系，或者正余弦之间的关系式，那么，在做这类题型时，常常要将题目中的所有角度利用正余弦全部转化为边的关系，进而化简得到特殊关系；或者将所有的边利用正弦定理转化为角度的关系，再利用三角恒等公式或者辅助角公式进行变换，最后得到特殊角，进而求解．考点四：面积问题〖例3〗（2009浙江文）在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若1c，求a的值．解析：（Ⅰ）531)552(212cos2cos22AAw.w又),0(A，54cos1sin2AA，而353cos...bcAACABACAB，所以5bc，所以ABC的面积为：254521sin21Abc（Ⅱ）由（Ⅰ）知5bc，而1c，所以5b，所以5232125cos222Abccba1、在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值．解（1）因为25cos25A，234cos2cos1,sin255AAA，又由3ABAC得cos3,bcA5bc，1sin22ABCSbcA（2）对于5bc，又6bc，5,1bc或1,5bc，由余弦定理得2222cos20abcbcA，25a2、在ABC中，sin(C-A)=1,sinB=13。（I）求sinA的值；(II)设AC=6，求ABC的面积。解：（I）由sin()1,,CACA知2CA。又,ABC所以2,2AB即2,0.24ABA故213cos2sin,12sin,sin.33ABAA(II)由（I）得：6cos.3A又由正弦定理，得：sin,32,sinsinsinBCACABCACABB所以11sincos32.22ABCSACBCCACBCA3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝10，又知cosAcosB＝ba＝43，求a、b及△ABC的内切圆半径．解由正弦定理知sinBsinA＝ba，∴cosAcosB＝sinBsinA.即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.BDCA又∵a≠b，∴2A＝π－2B，即A＋B＝π2.∴△ABC是直角三角形，且C＝90°，由a2＋b2＝102ba＝43，得a＝6，b＝8.故内切圆的半径为r＝a＋b－c2＝6＋8－102＝2.4．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，若a＝2，C＝π4，cosB2＝255，求△ABC的面积S.解：cosB＝2cos2B2－1＝35，故B为锐角，sinB＝45.所以sinA＝sin(π－B－C)＝sin3π4－B＝7210.由正弦定理得c＝asinCsinA＝107，所以S＝12acsinB＝12×2×107×45＝87.例题4：在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且CBcoscos=-cab2.（1）求角B的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积.变式1：在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为.变式2：在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=3.（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.变式3：考点五：利用正余弦定理求角〖例4〗（2011届稽阳联考）如右图，在△ABC中，D为BC边上一点，CAD　BAD,，10103cos,552cos．（1）求BAC的大小；解：（1）由已知，55cos1sin2