高二数学几种常见函数的导数

3.2.1几种常见函数的导数一、复习1.解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值;物理学中,物体运动过程中,在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等,都是极限思想得到本质相同的数学表达式,将它们抽象归纳为一个统一的概念和公式——导数,导数源于实践,又服务于实践.2.求函数的导数的方法是:(1)()();yfxxfx求函数的增量(2):()();yfxxfxxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx求极限，得导函数说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.说明:上面的方法中把x换x0即为求函数在点x0处的导数.3.函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值,即.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。)(0xf)(xf0|)()(0xxxfxf4.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.5.求切线方程的步骤：（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy二、新课根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式:公式1:.0()CC为常数0:(),()(),0,()lim0.xyyfxCyfxxfxCCxyfxCx解1)函数y=f(x)=c的导数.请同学们求下列函数的导数:22)(),3)(),14)(),yfxxyfxxyfxx'1y21'yx'2yx表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1这又说明什么?公式2:.)()(1Qnnxxnn请注意公式中的条件是,但根据我们所掌握的知识,只能就的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数.Qn*Nn三、例题•[例1]求下列函数的导数．•(1)y＝a2(a为常数)．•(2)y＝x12.•(3)y＝cosx.•[解析](1)∵a为常数，∴a2为常数，•∴y′＝(a2)′＝0.•(2)y′＝(x12)′＝12x11•(3)y′＝(cosx)′＝－sinx.•[点评](1)用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．•(2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．练习：求下列函数的导数(1)y＝1x2(2)y＝3x(3)y＝2x(4)y＝log2x(1)y′＝－2x－3(2)y′＝13x－23(3)y′＝2xln2(4)y′＝1xln2;2)11.yxy例2.已知，1)求求曲线在点（，）处的切线方程xyxxxxxx解：1）0011limlim.2xxyyxxxxx1:1(1).222yxx11切线方程即：y=2)练习：已知f(x)＝1nx，且f′(1)＝－13，求n.n=3•[点评]求函数在某点处的导数的步骤是先求导函数，再代入变量的值求导数．补充练习:1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围城的三角形的面积。2.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。四、小结2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题.1.会求常用函数的导数.其中:21,,,,ycyxyxyx公式1:.0()CC为常数公式2:.)()(1Qnnxxnn