高二数学函数的最值与导数

志丹高级中学2.2函数的最值与导数首页上页返回下页yxOx1x2aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0首页上页返回下页xyoxyo0x0x左正右负极大左负右正极小xyo0x左右同号无极值(2)由负变正,那么是极小值点;0x)(xf(3)不变号,那么不是极值点.0x)(xf(1)由正变负,那么是极大值点;)(xf0x1.极值点的判定首页上页返回下页(1)确定函数的定义域(一般可省)；(2)求出导数f´(x)；(3)令f´(x)=0，解方程；(4)列表：把定义域划分为部分区间，考察每个部分区间内f´(x)的符号，判断f(x)的单调性从而确定极值点;(5)下结论，写出极值。2.求可导函数f(x)的极值点和极值的步骤：首页上页返回下页用导数可求导为零的点，用导数的符号可判断区间上函数的单调性，进而可求极值。那么能否用导数知识求函数在某闭区间上的最值呢？首页上页返回下页xX2oaX3bx1y1.观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)首页上页返回下页2.观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.发现图中____________极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。abx1xy0没有f(x1)f(x1)f(b)首页上页返回下页3观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象.发现图中____________极小值，_________极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。xy0ab没有没有f(b)f(a)首页上页返回下页四讨论归纳函数在一个闭区间上的最大值和最小值分别在什么位置。（最大值或者在极大值点取得，或者在区间的端点取得。最小值或者在极小值点取得，或者在区间的端点取得。）试想函数在一个闭区间上求最大（小）值应怎么做？步骤如何？首页上页返回下页设函数f(x)在[a,b]上连续,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.注意1)函数的最值概念是全局性的（整个区间或定义域）2)函数若有最大值（最小值）必唯一3)函数的最大值大于等于最小值4)函数的最值可在端点上取首页上页返回下页例1:求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.解:.443xxy=令,解得x=-1,0,1.0=y当x变化时,的变化情况如下表:yy,从上表可知,最大值是13,最小值是4.13↗4↘5↗4↘13y+0-0+0-2(1,2)1(0,1)0(-1,0)-1(-2,-1)-2xy首页上页返回下页求函数y=x³+3x²－9x在［－4,4］上的最大值和最小值。解(1)由f´(x)=3x²+6x－9,(2)区间［－4,4］端点处的函数值为f(－4)=20,f(4)=76(3)比较以上各函数值，例2令f´(x)=0，解得x=－3，或x=1f(－3)=27,f(1)=－5可知函数在［－4,4］上的最大值为f(4)=76，最小值为f(1)=－5首页上页返回下页1.函数y=2x-3在[1，2]上的最大值是（）最小值是（）2.函数y=x2在[1，2]上的最大值是（）最小值是（）.若该函数在区间[-1，1]上呢？首页上页返回下页知识梳理1用导数法求函数最值的步骤。2若函数的最值存在则可能在那些点取得。3你从本节课还学到了什么？首页上页返回下页首页上页返回下页设,函数的最大值为1,最小值为,求常数a,b.213a323()(11)2fxxaxbx=62首页上页返回下页解:令得x=0或a.033)(2==axxxf当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:)(xfx-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1+0-0+f(x)+b↗b↘-a3/2+b↗+b)(xf由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.f(0)-f(1)=3a/2-10,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b=1.又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以f(x)的最小值为f(-1)=+b=-3a/2,366.223aa==-1-3a21-3a2-1-3a2