高二数学向量数量积的物理背景与定义2

计算下列各式a4)3)(1(ababa)(2)(3)2(a12b5)23()32)(3(cbacbacba25课前小测))(())()(4(2121bcttbcttctbt2122复习思考:向量的加法向量的减法实数与向量的乘法两个向量的数量积运算结果向量向量向量向量数量积的物理背景与定义学习目标1、掌握平面向量数量积的物理背景；3、掌握平面向量数量积的定义性质及几何意义。2、理解一个向量在另一个向量方向上的正投影的概念；s┓我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角F功是一个标量，是一个数量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？力F所做的功W应当怎样计算？以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积的概念。力做功的计算，涉及到两个概念：两个向量的夹角向量在轴上的射影1、向量的夹角的概念两个非零向量和，作，ab,OAaOBb与反向abOABabOAa0与同向abOABabaBbbAOBab则叫做向量和的夹角．记作ab2与垂直，abOABab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的,ab记作特殊情况：(0)怎样找向量的夹角?做一做:如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC通过平移变成共起点！12060'C说明（1）,,abba（2）在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsFcosFF其中就是在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正射影的数量。什么是向量的正射影？什么是向量的正射影的数量呢？阅读课本108页,看图回答问题。向量a在l上的正射影是什么？向量a在l上的正射影的数量是什么?坐标呢？怎样表示？a1AaA1O1lxOcos,laaal向量a在向量b上的数量怎样表示已知轴l,如图在，求（1）向量上的正射影的数量5,,60OAOAlOAl1OA；ABOB1A1l12060（2）向量5,,120,OBOBl求OB在l上的正射影的数量1;OB1155cos60522OA解：（1）15cos1205cos6015522OB（2）上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（上的数量为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8||,4||23024练一练记作定义cos,abab叫作向量和的数量积（或内积），abab,即cos,ababab（1）零向量与任意向量的数量积为0，00a即（2）这是一种新的运算法则，“.”不能省略不写，a·b不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算．（4）在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范围是0表示数量而不表示向量,决定其结果有三个量，这是与实数乘法的最大区别。ba（3）3、向量的数量积的定义说明判断下列命题是否正确()(×)()(×)(×)(×)做一做1.若a=0,则对任意向量b，有a·b=0.2.若a≠0,则对任意非零向量b，有a·b≠0.3.若a≠0,且a·b=0,则b=0.4.若a·b=0，则a=0或b=0.5.对任意的向量a，有a2=│a│2.6.若a≠0,且a·b=a·c,则b=c.a·b=|a||b|7.(×)两非零向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正，也可以为负，还可以为零，请说出什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？ab你能根据正投影的定义解释的几何意义？cos||||babacos,ababab小组讨论结论当时，它为正值；000,90abOABab1Bθ为锐角时，|b|cos＞0OABab)(1Bθ为直角时，|b|cos=0θ为钝角时，|b|cos＜0BOAab1B当90°＜≤180°时，它为负值．,ab当=90°时，它为0；,ab,ab,ab,ab当夹角为和180°，结果是什么呢？00平面向量数量积a·b的几何意义向量a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的正射影的数量|b|cosθ的积.θBB1OAab还有其它说法吗？过A点作OB的垂线，其几何意义怎样表述呢？想一想：由向量数量积的定义，试完成下面问题：_______.___________________.(3)||____||||.()ababababababaaabab；反；若与同向,若与向,填或(1)(2)0||||ab||||ab2||a≤(4)cos,ab(0)||||ababab练一练：(5)aeeacos,aaeaaa(4)cos=(a·b)/(|a||b|).(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a(或写成a2)=|a|2或|a|=√a·a设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角,则a⊥b=/2cos=0(1)e·a=a·e=|a|cos.|a||b|cos=0a·b=0向量a与b共线|a·b|=|a||b|a·b=|a||b|cos(5)|a·b|≤|a||b|.(2)a⊥ba·b=0.3、向量数量积的性质例题讲解例1．已知|a|=5，|b|=4，，求a·b.,120ab解:120cos4510)21(45cos,ababab例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°=2ABC8760120看谁做的快练习1：练习A,18,7,60BCCACBCCA求练习2：在△ABC中答案：-28例3045224428||||cos＝可得解：由baba看谁做的快：练习A,2求向量夹角的方法的夹角与求，，，bababa284||4||cos||||abab2(1)||2aa，2(2)||10aa，2(3)||8aa，2242101002864a22(4)|,|4||aaa，24a22||aa4222(5)|,|7||aaa，27a7求向量模的方法例4看谁做的快我们学到了什么？课堂小结向量的夹角向量在轴上的正射影向量的数量积的定义，几何意义，性质。共起点cos,laaalcos,ababab向量a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的正射影的数量|b|cosθ的积.数量积的性质（1）e·a=a·e=|a|cos（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时,a·b=−|a|·|b|.特别地(用于计算向量的模)aaaaaa||||2或（4）||||cosbaba（5）|a·b|≤|a|·|b|设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(用于计算向量的夹角)；撩妹撩妹套路把妹达人veg67whv不是冲我来的，但假如自己误闯这杀气范围内，自己肯定会被波及到而丢掉性命吧。但是路还是要走下去的，总不可能因为有杀气而就待在原地等死吧，没被杀气杀死就饿死在这里了。没办法，还是硬着头皮上前去看个究竟吧，当然是偷偷摸摸地去看。就这样，我朝着杀气传来的方向越走越近，蓦地一股强光射了过来，吓得我赶紧躲在了一棵大树后面。待我定了定神之后，才敢慢慢的探出我的小脑袋来，去看个究竟。就这么一看，我和我的小伙伴们都惊呆了。只见一人在那里舞剑，那剑的横面把偶尔透进来的阳光反射了出去，黑黑的周遭环境时不时地被这强光照亮，但又很快消失了，就好像酒吧的那颗灯球一样，真是有够炫的。更炫的还不是这个，而是那家伙的武艺。虽说我不是太能看懂他耍得好还是不好，但是我惊讶的是他只是一跳，就可以在空中停留这么久，然后一直舞剑，最后差不多舞了十几招才落回到地面。这难道就是传说中的轻功，但是我就是很不能理解轻功这东西。它完全违背了地心引力嘛，因为一个人的体重又不是像羽毛这么轻，怎么可能乘风而来，御风而去呢？难道他是用气来浮空，还是在用查克拉？我又犯胡思乱想的毛病了，而且还是在杀气重重的环境中，看来我这毛病真的是到死也改不了了。过了大约三十分钟的样子，那人终于不耍了，顿时那杀气也就消失了。我就郁闷了，这个人舞剑就舞剑呗，干嘛弄得杀气腾腾的样子，害得我以为有谁在那里干架呢！“好！果然厉害！”蓦地，又一个人走了出来，走向那舞剑人，并且一边鼓掌一边道着。“你来干什么？”舞剑人反问道。哇塞，原来刚才在舞剑的是一女子，这真是又让我略吃了一小惊。“哈哈，咱们帮派最强的女剑侠在这里做起了看护，真是大材小用啊！”神秘人答非所问。“你快别说！小心有人听到了！”舞剑女子明显被这话吓着了，赶紧喝住对方。“哈哈，你大可放心。”神秘人继续笑说道，“这里是傅家的禁地，一般人根本不会来。而且，我进来的时候也仔细帮你瞧过了，没有人在。假如真有一些冒失的小老鼠闯进来了，还没走几步，他就”神秘人此时做了一个割喉的动作。什么？难道我不是人，我就在这里啊！是你瞧都没瞧过吧，竟然说大话，这货还真是的。原来我闯进了傅家的禁地之林啊，看来我这回想出去真的是难上加难咯。我还是继续保持沉默偷听吧。“那倒是，平时我也只有在这里练剑，这样既不会伤到人，也可以继续和帮里取得联系。”女子道之。“我说你怎么说出这些软弱的话来了？以前那个戾气十足的况后烨去哪了？”神秘人取笑道。“就算伤到人又如何了？傅家的人的命都是贱命！都是该死的！”突然神秘人提高了好几倍声音说道。“嗯，是的。”女子显然接话接得有点迟