三垂线定理及其逆定理的练习

三垂线定理及其逆定理的练习三垂线定理及其逆定理教学目标教学重点和难点教学设计过程作业补充题课堂教学设计说明教学目标进一步理解、记忆并应用三垂线定理及其逆定理；理解公式cosθ1·cosθ2＝cosθ的证明及其初步应用；（课本第122页第3题）理解正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直及其应用；了解课本第33页第11题．教学重点和难点重点:进一步掌握三垂线定理及其逆定理并应用它们来解有关的题．难点:在讲公式cosθ1·cosθ2＝cosθ应用时比较θ2与θ的大小．教学设计过程师：上一节课我们讲了三垂线定理及其逆定理的证明并初步应用了这两个定理来解一些有关的题．今天我们要进一步应用这两个定理来解一些有关的题.教学设计过程例1AB和平面α所成的角是θ1；AC在平面α内，BB′⊥平面α于B′，AC和AB的射影AB′成角θ2，设∠BAC＝θ．求证：cosθ1·cosθ2＝cosθ．例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：（1）A1C⊥平面C1DB于G；（2）垂足G为正△C1DB的中心；（3）A1G＝2GC．例3已知：Rt△ABC在平面α内，PC⊥平面α于C，D为斜边AB的中点，CA＝6，CB＝8，PC＝12．求：（1）P，D两点间的距离；（2）P点到斜边AB的距离．例4已知：∠BAC在平面α内，POα，PO⊥平面α于O．如果∠PAB＝∠PAC．求证：∠BAO＝∠CAO．作业课本第33页第13题．补充题1．已知：∠BSC＝90°，直线SA∩平面BSC＝S．∠ASB＝∠ASC＝60°，求：SA和平面BSC所成角的大小．答案：45°2．已知：AB是平面α的一斜线，B为斜足，AB＝a．直线AB与平面α所成的角等于θ，AB在平面α内的射影A1B与平面α内过B点的直线BC所成的角等于，求：点A到直线BC的距离。答案：3．已知：P为Rt△ABC所在平面外一点，∠ACB＝90°P到直角顶点C的距离等于24，P到平面ABC的距离等于12，P到AC答案：4．已知：∠BAC在平面α内，PA是平面α的斜线，∠BAC＝60°，∠PAB＝∠PAC＝45°．PA＝a，PO⊥平面α于O．PD⊥AC于D，PE⊥AB于E．求：（1）PD的长；（2）PO的长。答案：（1）（2）22coscos1a106aPD2233PO课堂教学设计说明如前所述，在学习过三垂线定理及其逆定理以后，教学要达到第二个“高潮”．也就是说要学生在这一学科的学习上攀登上第二个高峰．攀登第二个高峰要比攀登第一个高峰（求异面直线所成的角）要困难得多．因为题型较杂，知识面较广，思路较活．这都给学习造成很大的困难．但是，也正是这种困难才能激发起学生的学习兴趣和积极性．所以我不论是在北京师大二附中还是在北京九十二中教学时都安排了一节新课，三节到四节练习课，采用精讲多练的方法，使学生见到的题型更多，解题的思路更活．使他们比较容易地登上新的高峰，从而使以后的学习较为顺利．在解每一个例题时，如何灵活地应用三垂线定理及其逆定理是我们讲课的重点，也是时刻要把握住的中心环节．特别是一个空间图形有多个平面时，首先要找出“基准平面”，也就是说对于哪一个平面来用三垂线定理或其逆定理，在“基准平面”找出后，再找出“第一垂线”，也就是垂直“基准平面”的直线，然后斜线、射影也就迎刃而解了．课堂教学设计说明在讲练习课时，要讲的例题很多，但一定要讲下述四个基本题：（1）△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC．求证：BC⊥平面PAC．（2）课本第122页第3题．（3）课本第33页第11题．（4）正方体的体对角线与其异面的面对角线互相垂直．因为上述四个基本题和与之对应的基本图形常常包含于某些综合题和与之对应的综合图形之中，并且往往起着决定性作用．因此，在我们解一些综合题时，通过观察和分析，如果发现存在上述情况，就可以将它们化归为上述基本题和与之对应的基本图形去解．这是在解立体几何题时又一重要的化归思想——“综合图形基本化”．（请参看《数学通报》1998年第2期《化归方法与立体几何教学》）这四个基本题都是应用三垂线定理与其逆定理解题典型．对这四个基本题和与之对应的基本图形，一定要让学生会证、理解、掌握、记住．这样才有可能应用它们来解综合题，这四个基本题是四个台阶，是向上攀登必不可缺的台阶．课堂教学设计说明为了利用公式cosθ1·cosθ2＝cosθ来比较θ2与θ的大小，特选三题供老师们选用．（1）二面角α-AB-β的平面角是锐角，C是α内一点（它不在棱上），点D是C在β内的射影，点E是棱AB上任一点，∠CEB为锐角，求证：∠BEC＞∠DEB．（提示：∠CED相当于θ1，∠DEB相当于θ2，∠CEB相当于θ，θ＞θ2）（2）在△ABC中，∠B，∠C是两个锐角，BC在平面α内，AA′⊥平面α于A′，A′BC上，求证：∠BAC＜∠BA′C．（提示：∠ABA′相当于θ1，∠A′BC相当于θ2，∠ABC相当于θ，因为∠ABC为锐角，所以∠A′BC也为锐角，故θ＞θ2）AC＝15，A1B＝5，A1C＝9．试比较这两个三角形的内角A和A1的大小．（提示：由cos∠BAC＝cos∠BA1C，得∠BAC＝∠BA1C，又因为∠ABC是钝角，∠ABC＜∠A1BC，而∠ACB是锐角，∠ACB＞∠A1CB，所以才有可能得出∠BAC＝∠BA1C）