(文章)利用函数模型解决实际问题

彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第1页共2页版权所有少智报·数学专页利用函数模型解决实际问题能够运用函数的性质，解决某些简单的实际问题，培养学生应用函数知识解决实际问题的能力，是高考重点考查内容之一．利用函数模型解决实际问题的方法步骤是：（1）正确地将实际问题转化为函数模型，这是解应用题的关键，转化来源于对已知条件的综合分析、归纳与抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的种类．（2）用相关的函数知识，进行合理设计，确定最佳解题方案，进行数学上的计算求解．（3）把计算获得的结果回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．例1：某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为221500xxxH，其中x是产品销售的数量（0≤x≤500）．（1）若x为年产量，y表示利润，求y=f(x)的表达式．(2)当年产量为何值时，工厂的利润最大，其最大值是多少？（3）当年产量为何值时，工厂有盈利（已知65.45625.21）？分析：解决本题需要明确两点：（1）围绕“利润=销售收入-投入”建立函数模型；（2）由于年产量不定，所以本题应为分段函数．当年产量大于500时，年销量最大值为500部．解：（1）由题意，得y=50001002500500021500500100250050005002150050022xxxxxx=5000500047521500251200002xxxxx（2）当x500时，函数为减函数．当0≤x≤500时，由y=5.1078124752150004752122xxx可知，当年产量为475部时，工厂的利润最大，其最大值是107812.5．（3）解不等式组500005000475215000251200002xxxxx（x∈z）可得，当｛x∣10x4800｝时工厂有盈利【注】实际问题得以解决的关键是在阅读理解的基础上，建立数学模型，根据实际情况确定定义域，然后再由函数特点选择解法．彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学用专页第2页共2页版权所有少智报·数学专页例2：假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8％）．计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式．（2）要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78％，试确定x的范围．解：在收购价格没有改变的前提下，收购量由m万担增加到m（1+2x％）万担；税率由8％降低到（8-x）％．因此（1）y=120m（1+2x％）（8-x）％=4004212532xxm（0x≤8）（2）原计划税收为120m×8％，因此4004212532xxm≥120m×8％×78％解上式，得｛x∣-44≤x≤2｝故x的范围为：｛x∣0≤x≤2｝从以上两个例子可以看出，利用函数模型解决实际问题大体可分为三个步骤：（1）阅读理解：数学应用题通常已经过初步加工，并通过语言文字、符号或图形展现在我们面前，要求做题时读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质．（2）数学建模：将应用题的材料陈述转化成数学问题，这就要抽象、归纳其中的数量关系，并恰当地把这种关系用数学表达式表示出来．（3）数学求解：根据所建立数学关系的知识系统，解出结果，从而得到实际问题的解答．