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第23讲┃锐角三角函数第23讲┃考点聚焦考点聚焦考点1锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b，则∠A的正弦余弦正切sinA＝∠A的对边斜边＝________cosA＝∠A的邻边斜边＝________tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝________它们统称为∠A的锐角三角函数acbcab第23讲┃考点聚焦考点2特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°60°1232322212232123考点3解直角三角形第23讲┃考点聚焦解直角三角形的定义在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形第23讲┃考点聚焦解直角三角形的常用关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：(1)三边关系：a2＋b2＝________；(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝________；(3)边与角关系：sinA＝cosB＝________，cosA＝sinB＝________，tanA＝________；(4)sin2A＋cos2A＝1解直角三角形的题目类型(1)已知斜边和一个锐角；(2)已知一直角边和一个锐角；(3)已知斜边和一直角边(如已知c和a)；(4)已知两条直角边a，bc290°acbcab第23讲┃归类示例归类示例►类型之一求三角函数值命题角度：1.正弦值的计算；2.余弦值的计算；3.正切值的计算．例1[2013·内江]如图23－1所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点．则sinA的值为()B图23－1第23讲┃归类示例[解析]利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．如图：连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO＝12＋12＝2，AC＝12＋32＝10，则sinA＝OCAC＝210＝55.故选B.第23讲┃归类示例解决与网格有关的三角函数求值题的基本思路是从所给的图形中找出直角三角形，确定直角三角形的边长，依据三角函数的定义进行求解．►类型之二特殊锐角的三角函数值的应用命题角度：1.30°、45°、60°的三角函数值；2.已知特殊三角函数值，求角度．第23讲┃归类示例例2[2013·济宁]75°在△ABC中，若∠A、∠B满足cosA－12＋sinB－222＝0，则∠C＝________.第23讲┃归类示例[解析]∵cosA－12＋sinB－222＝0，∴cosA－12＝0，sinB－22＝0，∴cosA＝12，sinB＝22，得∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°，故答案为75°.►类型之三解直角三角形例3[2013·淮安]如图23－2，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10√2，AB＝20.求∠A的度数．第23讲┃归类示例命题角度：1.利用三角函数解直角三角形；2.将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形．图23－2第23讲┃归类示例[解析](1)由四边形ABCD是矩形，易得∠A＝∠D＝90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF＝∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF；(2)由(1)△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BEEF＝ABDE，又由AB＝6，AD＝12，AE＝8，利用勾股定理求得BE的长，由DE＝AD－AE，求得DE的长，继而求得EF的长．第23讲┃归类示例解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°.∵EF⊥BE，∴∠AEB＋∠DEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF；(2)∵△ABE∽△DEF，∴BEEF＝ABDE.∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，∴BE＝AB2＋AE2＝10，DE＝AD－AE＝12－8＝4，∴10EF＝64，解得EF＝203.第23讲┃归类示例作三角形的高，将非直角三角形转化为直角三角形，是解直角三角形常用的方法．