大学物理-振动和波动

1第一章振动2一物理量在某一定值附近周期性变化力学量（如位移）机械振动电磁振动电磁量（如I、V、E、B）广义：振动狭义：物体在一定位置附近作来回往返的运动（机械运动）心脏的跳动，钟摆，乐器，地震等3振动受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由谐振动共振(简谐振动）4坐标原点必须在平衡位置的运动物体的广义坐标一、简谐振动(SimpleHarmonicVibration)★动力学特征F合外力（矩）kx（广义弹性力）（准弹性力）合外力（矩）平动：（线）坐标转动：角坐标运动物体相对平衡位置的位移或角位移1.特征xokxpNFm5★微分方程特征2220dxxdt22dxdt加速度a角加速度动力学方程kmcosxAt（）★运动学特征振动方程6)cos(tAx0222xdtxdFkx合外力（矩）★简谐振动判据7例1.一质量为m的质点在力F=的作用下沿x轴运动．求其运动的周期．2xxF0m8xF0m2220dxxdtm2Fx解：2m22Tm92.规律速度sin()dxvAtdt加速度2cos()dvaAtdtcos()xAt位移振动方程2468101214-1-0.50.51vtxa10注意：当简谐运动的物体是转动时，上两式给出的实际上是角速度和角加速度。11势能222121cos()2pWkxkAt2222121sin()2kWmvmAt动能总能2222112211()22kp守恒！-1-0.50.510.20.40.60.81tkWpWW24681012-0.20.20.40.60.81kWpWxt123.描述简谐振动的基本物理量cos()xAtA,,.由系统性质决定（故称固有频率）2220dxxdt由定出22T由初始条件决定。（重点！）由初始条件决定。0,t相位为称初相位。圆频率（2秒内振动的次数)()t相位（决定振动状态的物理量）A振幅（最大位移的绝对值）2km13第一个振动与第二个振动相位差:12()()tt0第一振动超前0第一振动落后同相与反相2k(21)k两振动同相两振动反相相位差:12超前与落后14用上两式时，特别注意和的正负号，从而正确判断出究竟是之间的哪一个值。，位移，速度0x0v设0cosxA0sinvA★用初始条件求振幅A和初相位2200()Axv00vtgx0t0x0v0~2特别提醒：15)cos(tAx以为原点旋转矢量的端点在轴上的投影点的运动为简谐运动.xoA4.旋转矢量表示法16并且使时刻矢量与轴之间的夹角为oxAoxoxA0t★已知作旋转矢量图以平衡位置为参考点作水平轴①以参考点为圆心、振幅为半径作圆周（参考圆）②③0tcos()xAt作矢量，A17使矢量绕点沿逆时钟方向旋转，并且其旋转角速度固有圆频率④AO满足上述四个条件的矢量称为旋转矢量Aox0tAtt18旋转矢量在轴下方旋转矢量在轴上方任意时刻的末端在轴上的投影时刻与轴之间夹角tAoxxx0vAx0vo0t结论：◆相位tt◆坐标（运动物体相对平衡位置的位移）x◆速度方向xAttx19画旋转矢量图：取坐标、画圆周、零时夹角为、旋转逆时钟结论：时夹角为相位、投影为坐标上方速度负、下方速度正t201、以平衡位置为参考点作水平轴上方矢量为旋转矢量下方矢量为旋转矢量★已知初始条件时,0tt00,xv①作旋转矢量图②写运动方程①作旋转矢量图oxo3、过点作轴的垂线，ox0xx0x4、从到、分别作矢量与圆交点为、bcobcbc00v，00v，0tt（）5、2、以参考点为圆心、振幅为半径作圆周（参考圆）21画旋转矢量图：取坐标、画圆周、通过作垂线到交点画矢量，若在下方;反之在上方.0xo00v，结论：夹角0t②写运动方程cos()xAt2200vAx0t夹角22例2两个物体作同方向、同频率、同振幅的谐振动，在振动过程中，每当第一个物体经过位移为的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动，试利用旋转矢量法求它们的相位差。/2A23ox1A2A2/A24相位差)()(21tt第一个与第二个相位差3,22第二个与第一个相位差)()(12tt轴夹角任意时刻与oxA1-轴夹角任意时刻与oxA2轴夹角任意时刻与oxA2-轴夹角任意时刻与oxA1本题相位差25例3（3054）一简谐振动的振动曲线如图所示。210105o)(cmxt①写出振动方程②作出旋转矢量图26)cos(tAx3432，250Ax0t00v0sin322t0)322cos(2Axt）（cmA10232322，0)322sin(①22sin(2)03tvA例3解23232125))(32125cos(10cmtx振动方程275102321252t②作出旋转矢量图ox0t3223228课后练习.已知xt曲线，写出振动方程，并求它们的相位差？m/xo1234561.02.012/ts练习（3006）一倔强系数为k的轻弹簧截成三等份，把其中的两条并联起来，下挂一质量为m的物体，求振动系统的频率。29练习.已知简谐振动，,当时位移为,且向负向运动。求（1）振动方程。（2）且向正向运动时的速度、加速度及从这一位置回到平衡位置的最小时间。cm10A0ts2Tcm5xcm5xx30解（1）)tcos(AxT2)srad(由旋转矢量得32)32tcos(1.0x（2）先求由旋转矢量法ts1Δt（半个周期）t0t2Axo2/A31s/m27.0)32sin(1.0)tsin(Av222s/m49.0)32cos(1.0)tcos(Aa由旋转矢量法6532Δ's6565ΔtΔ'（用解析法也可求出！）0t2Atx't32tHdtdxkxdtxdmcos22二、阻尼振动、受迫振动、共振(自学)★阻尼振动：由于阻力的作用而使振动能量减小的一种减幅振动。★受迫振动：振动系统在周期性外力的持续作用下发生的振动。33★共振：当驱动力的圆频率与系统固有圆频率相等时，振幅达到最大值的现象。34★作业：1.101.332.22.535三﹑简谐振动的合成1．同方向同频率的简谐振动的合成；2．同方向不同频率的简谐振动的合成；3．相互垂直、同周期的简谐振动的合成；4．相互垂直、不同周期的简谐振动的合成36★同方向同频率的简谐振动的合成分振动:合振动:111=Acos(t+)x222=Acos(t+)x12=+xxxx2AA1A21X1x2x0t=Acos(t+)221212212cos()AAAAA22112211coscossinsintgAAAA合振动振幅合振动初相位合振动圆频率合37讨论：两种特殊情况(1)若两分振动同相21=2k(k=0,1,2,…)(2)若两分振动反相21=(2k+1)(k=0,1,2,…)如A1=A2,则A=02AA1A2AA1A则，合振幅最大。12AAA则，合振幅最小。12AAA)cos(212212221AAAAA382.两同方向不同频率（相差较小）的合成两音叉：HZ8001HZ7982合振幅时强时弱的现象称为拍HZ122拍频20406080100120-1-0.50.5120406080100120-1-0.50.51ttt2x1x20406080100120-2-11221xx393.两同频率垂直振动的合成)cos()cos(2211tAytAx{xAAy12直线椭圆方程，形状决定于及、。12Δ1A2A分振动消去，得合运动轨迹方程：txy1A1A2A2A（1、3象限）（2、4象限）12Δ0.1)(sin)cos(AAxy2AyAx1221221222212401AyAx222212正椭圆223或22.Δ圆21AAxy1A1A2A2A3.Δ其它值斜椭圆之间为右旋Δ0在之间为左旋Δ2在右旋左旋41为任意值时，合振动的轨迹一般为椭圆044345257223424.不同频率垂直方向简谐振动的合成称为李萨如图形。如：两振动的频率成整数比时，合成轨迹稳定，一般轨迹曲线复杂，且不稳定。-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51-1-0.50.51xyyxxyxyTTNN由切点数之比可测频率。43例4（5315）两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的位相差为。若第一个简谐振动的振幅为17.3cm，则第二个简谐振动的振幅为？第一、二两个简谐振动的位相差1/6?2144x1A2AA合o0t122221112cos()AAAAA－cm10)sin()](sin[1212AA2/21解：45例5（3043）一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为(SI),(SI).画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程．21510cos(4/3)xt22310sin(4/6)xt46解：22310sin(4/6)xt2310cos(42/3)t＝x1A2AA合o作两振动的旋转矢量图，如图：=3523,Acm合2210cos(4/3)xt合振动方程为：47思考：如果已知简谐振动物体的曲线如何求简谐振动方程？tV~48)cos(tAx简谐振动方程在曲线中，tV~曲线峰值A)sin(tAdtdxV)cos(2tAdtdVa曲线上行0a曲线下行0a49练习.（5185）用余弦函数描述一简谐振子的振动．若其速度～时间（v～t）关系曲线如图所示,则振动的初相位为(A)π/6.(B)π/3.(C)π/2.(D)2π/3.(E)5π/6.［］v(m/s)t(s)Omv21-vm50练习（3006）一倔强系数为k的轻弹簧截成三等份，把其中的两条并联起来，下挂一质量为m的物体，求振动系统的频率。51解：弹簧串联公式nkkkk111121总弹簧并联公式nkkkk21总每一份1233kkkkkkkk621总两根并联52022ymkdtyd总mkmk621212总频率合外力mgyykF）（总合0）（总mgyk0物体在平衡位置处弹簧伸长量0yyk总2mk总53作业：一沿X轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图所示，写出质点O的振动方程和平面简谐波的波动方程。u=1.00m/s0.51230-1yX本周作业：2.3,2.5,2.16,2.17,2.1854作业：一平面简谐波以速度向X轴正向传播，O点为坐标原点，已知P点的振动表达式为：,求波动方程和C点的振动方程。ucosPyAtOPCL2LXu55第二章波动学基础56振动在空间的传播过程波动：波动电磁波机械波:机械振动在媒质中的传播:变