鲁棒控制

第一章概述§1.1不确定系统和鲁棒控制(UncertainSystemandRobustControl)1.1.1名义系统和实际系统（nominalsystem）控制系统设计过程中，常常要先获得被控制对象的数学模型。在建立数学模型的过程中，往往要忽略许多因素：比如对同步轨道卫星的姿态进行控制时不考虑轨道运动的影响，对一个振动系统的控制过程中，不考虑高阶模态的影响，等等。这样处理后得到的数学模型仍嫌太复杂，于是要经过降阶处理，有时还要把非线性环节进行线性化处理，时变参数进行定常化处理，最后得到一个适合控制系统设计使用的数学模型。经过以上处理后得到的数学模型已经不能完全描述原来的物理系统，而仅仅是原系统的一种近似，因此称这样的数学模型为“名义系统”，而称真实的物理系统为“实际系统”，而名义系统与实际系统的差别称为模型误差。1.1.2不确定性和摄动如立足于名义系统，可认为名义系统经摄动后，变成实际系统，这时模型误差可视为对名义系统的摄动。如果立足于实际系统，那么可视实际系统由两部分组成：即已知的模型和未知的模型（模型误差），如果模型的未知部分并非完全不知道，而是不确切地知道，比如只知道某种形式的界限（如：范数或模界限等），则称这部分模型为实际模型的不确定部分，也说实际系统中存在着不确定性，称含有不确定部分的系统为不确定系统。模型不确定性包括：参数、结构及干扰不确定性等。1.1.3不确定系统的控制经典的控制系统设计方法要求有一个确定的数学模型（可能是常规的，也可能是统计的）。以往，由于对一般的控制系统要求不太高，所以系统中普通存在的不确定性问题往往被忽略。事实上，对许多要求不高的系统，在名义系统的基础上进行分析与设计已经能够满足工程要求，而对一些精度和可靠性要求较高的系统，也只是在名义系统基础上进行分析和设计，然后考虑模型的误差，用仿真的方法来检验实际系统的性能（如稳定性、暂态性能等）。例如导弹控制系统设计时就是这样。首先按名义模型设计一个控制系统，然后反复调整设计参数，这样的结果是浪费了大量的人力物力。比如一种导弹从设计到定型要反复计算数百条弹道，对大小回路控制器参数要进行数十次调整，还要经过反复试射，1这类参数的调整往往没有一个理论可以遵循，而依据设计者的经验。为了解决不确定控制系统的设计问题，提出了鲁棒控制理论。由于鲁棒控制器是针对系统工作的最坏情况而设计的，因此能适应所有其它工况，因此它是解决这类不确定系统控制问题的有力工具。鲁棒性定义：在不确定因素影响下，系统（装置）保持其原有能力的性质。鲁棒控制定义：使受到不确定因素作用的系统保持其原有能力的控制技术。§1.2鲁棒控制理论研究的内容1.2.1鲁棒稳定性（绝对稳定性）鲁棒稳定性是系统受到扰动作用时，保持其稳定性的能力。这种扰动是不确切知道的，但是是有限的。稳定性是对一个系统正常工作的起码要求，所以对不确定系统的鲁棒稳定性检验是必要的。因为传统的设计方法不具有保证鲁棒稳定性的能力，包括七十年代发展起来的各种方法，INA（逆奈氏阵列）、CL（特征轨迹）、LQR（线性二次型调节器）等，都不能保证系统的鲁棒稳定性。从九十年代起，大多数飞机、导弹、航天器都提出了鲁棒性要求。鲁棒稳定性分为频域分析及时域分析两类，每一类又包含多种不同的方法。常用的鲁棒稳定性分析方法有：1）矩阵特征值估计方法2）Kharitonov方法3）Lyapunov方法4）矩阵范数及测度方法1.2.2性能鲁棒性（相对稳定性）对不确定系统，仅仅满足鲁棒稳定性要求是不够的。要达到高精度控制要求，必须使受控系统的暂态指标及稳态指标都达到要求。按名义模型设计的控制系统在摄动作用下仍能满足性能指标要求，则说该系统具有性能鲁棒性。大多数设计方法不能保证性能鲁棒性，因而对不确定系统进行性能鲁棒性的检验是必要的。性能指标的鲁棒性分析方法也可分为频域和时域两种，使用何种性能指标，要视提出的性能指标是在频域还是在时域而定。性能鲁棒性有时又称为相对稳定性、D-稳定性等。所谓稳定性，即为了保证系统的性能，要求在摄动作用下，系统的闭环特征值保持在某个区域D内。1.2.3鲁棒控制器设计a）基于不确定性界限的鲁棒控制器设计2已知名义系统及不确定性的界限，设计一个控制系统使其满足稳定性或性能指标要求。这里的不确定性包括：对外干扰的不确定性及内部结构、参数变化的不确定性，一般前者称为鲁棒伺服机问题，发展较早（70年代中期），后者称为鲁棒调节问题，发展较晚（70年代末、80年代初开始）。属于这类方法有：1）保证价值控制理论（GuaranteedCostControl）；2）Lyapunov最大-最小方法；3）变结构控制理论（VSC），特别是其中的滑动模态控制理论（SlidingModeControl）；b）基于灵敏度指标的鲁棒控制器设计这类控制器是在名义系统基础上设计的，然后应用一些与灵敏度有关的性能指标，设计控制器使所设定的性能指标最优，如H∞控制等。属于这类方法的主要有：1）H∞控制理论（1981年加拿大的Zams提出）；2）鲁棒的特征结构配置方法（Matlab中的place函数）。c）基于其他考虑的方法如英国的Holowitz1979年提出的定量反馈理论（QFT）。§1.1.3本课程的内容本课程分为七章，第二章介绍理解本课程所需要的数学基础知识；第三章讲述状态空间系统的鲁棒稳定性分析方法；第四章讲述动力学系统的鲁棒稳定性分析方法；第五章讲述鲁棒控制器的设计方法；第六章讲述变结构控制器的设计方法；第七章讲述鲁棒控制的应用。本课程假定读者已经学习过矩阵理论和现代控制理论等课程。3第二章数学基础知识本书使用的数学符号：nnnRRR×、、⎯实数域、-维实空间、nnn×-维实空间；nnnCCC×、、⎯复数域、-维复空间、nnn×-维复空间；mnrC×⎯秩为r的mn×-维复空间。nnR×+⎯-维实空间，其元素的分量都大于或等于0。nn×∀∉∈、、⎯属于、不属于、对所有的；1*−AAAT、、⎯A的转置、A的共轭转置、A的逆矩阵；RCmn→×⎯从空间到实数域R的映射；mnC×aA、⎯矩阵A的范数、标量a的模；+0⎯0的右侧，即大于0的一侧；n、r⎯自然数的集合、上界为r的自然数的集合；⇔⇐⇒、、⎯包含、被包含、等价；aa、⎯a的最小值、最大值；§2.1矩阵的几个概念定义2.1设,如果存在一个nnCA×∈C∈λ和使得：nCx∈xAxλ=，(2.1)则λ称为A的一个特征值，x称为A的对应于λ的特征向量。设A*表示A的共轭转置，则有：赫米特矩阵（HermitianMatrix）：AA=*，具有实特征值4对称矩阵（SymmetricMatrix）：AAT=，具有实特征值酉矩阵（UnitaryMatrix）：，特征值都在复平面的单位圆上*1AA=−正交矩阵（OrthogonalMatrix）：，特征值都在复平面的单位圆上1−=AAT斜赫米特矩阵（SkewHermitianMatrix）：AA−=*，特征值都在复平面的虚轴上正规矩阵（NormalMatrix）：，有各异的特征值**AAAA=定义2.2矩阵A是正定的，如果其全部特征值大于零；矩阵A是正半定的，如果其全部特征值都大于或等于零；矩阵A是负定的，如果其全部特征值都小于零。定义2.3矩阵A是渐近稳定的，如果其全部特征值都具有负实部；矩阵A是不稳定的，如果至少一个特征值具有正实部。矩阵A是Lyapunov稳定的，如果其全部特征值都具有非正实部。关于矩阵的特征值还有一些性质：i）相似变换不改变矩阵的特征值；ii）特征值是连续的；iii）实矩阵的特征值是自共轭的。这些性质也是我们今后的学习中要用到的。§2.2矩阵范数定义2.4若映射ν是的一个映射，称RCmn→×γ是A的一个矩阵范数，系指如下条件保持时：a）正定条件mnCAA×∈≠∀0,0νb）齐次条件mnCACAA×∈∈∀=,,αααννc）三角不等式mnCBABABA×∈∀+≤+,,ννν此外，若下面的条件成立5d）相容条件mnCBABAAB×∈∀≤,,ννν则称ν为相容的矩阵范数。常用的矩阵范数：设{}mnijCAaA×∈=,，aij是A的元素，则a）行和范数∑=Δ∞=mjijiaA1max(2.2)b)列和范数∑=Δ=niijjaA11max(2.3)c)谱范数{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==≠=Δ220212maxmax2xAxAxAxx(2.4)d)Frobenius范数()21112⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑==ΔnimjijFaA(2.5)e)B-范数∑∑==Δ=nimjijBaA11(2.6)这里除了B-范数外，其它都满足相容性条件。§2.3矩阵的测度定义2.5矩阵A的测度()Aμ被定义为()Aμθθθ1lim0−+=+→ΔAI(2.7)A的测度表示上一点mnC×I在方向A的单侧方向导数，I为单位阵。物理解释：考虑系统()()()txtAtx=&，是其一个解向量，()tΦ那么的方向导数为()tΦ6()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ−+Φ=Φ+→Δ+θθθtttD0lim=()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡Φ−Φ+Φ+→θθθttt'0lim=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ−Φ+Φ+→θθθttAt0lim()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡Φ−Φ+≤+→θθθttAI0lim=()()()tAtAIΦ=Φ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++→μθθθ1lim0测度的性质：a）()()()00,1,1=−=−=μμμIIb）()()AAAA≤≤−−≤−μμc）()()AccAμμ=，0≥∀c（齐次条件）d）()()cAcIA+=+μμe）()()()BABAμμμ+≤+，（三角不等式）f）()()()BABABA−≤−≤−μμμg）()()[]()AAAiμλμ≤≤−−Re，()ni∈∀矩阵的测度满足齐次条件和三角不等式，但不满足相容性条件。测度的计算：设，那么mnijCaA×∈=}{()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∑≠jiijijjaaARemax1μ(2.8)7()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=2max*2AAAiiλμ(2.9)()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=∑≠∞ijijiiiaaARemaxμ(2.10)§2.4矩阵的行列式和恒定值（DeterminentandPermannent）设：，nnCA×∈}{ijaA=，记为ijAA的子矩阵，它是通过删除A的第行及第ij列而得到的，那么A的行列式和恒定值可按如下法则计算：行列式：()11det,1aAn==()12212211det,2aaaaAn−==3≥n时，按第行的拉普拉斯展开是i()()(∑=+−=njijijjiAaA1det1det)(2.11)恒定值：,1=n()11aAper=,2=n()12212211aaaaAper+=,3≥n按第行的Laplace展开为i()(∑==njijijAperaAper1)(2.12)§2.5矩阵的迹、谱半径和条件数2.5.1矩阵的迹和谱半径8定义2.6若，那么，其对角线元素之和称为其迹，记为：nnCA×∈(2.13)()∑==niiiaAtrace1定义2.7矩阵A的全部特征值()Aiλ称为它的谱，其谱半径()Aρ定义为()()}{maxAAiiλρΔ=(2.14)很明显，A的谱都在复平面上以原点为圆心、()Aρ为半径的闭圆内。2.5.2特征值问题的条件数定义2.8若，Q是可使nnCA×∈A化成标准型的非奇异矩阵，则JordanA的特征值问题的条件数定义为：()mmmQQAC1−Δ=(2.15)其中：m表示任何相容的矩阵范数。若A受扰后变成EA+，E是偏离值，设λ是EA+的任意一个特征值，iλ是A的第i个特征值，则有：()mmiiEAC≤−}{minλλ(2.16)即，当A受扰后，其特征值产生偏差，偏差随其特征值问题的条件数的增大而增大。正规矩阵因为可对角化，故()1=ACm，这说明正规矩阵不易受扰。2.5.3求逆问题的条件数定义2.9若，是非奇异矩阵，则求逆问题的条件数定义为：nnCA×∈()mmmAAAK1−Δ=（2.17）这里对应于不同的相容矩阵范数意义的条件数。∞=,,2,1Lm9条件数表征了