(完整版)实变函数题库集答案

实变函数试题库及参考答案本科一、题1．设,AB为集合，则\ABBAB（用描述集合间关系的符号填写）2．设A是B的子集，则AB（用描述集合间关系的符号填写）3．如果E中聚点都属于E，则称E是闭集4．有限个开集的交是开集5．设1E、2E是可测集，则12mEE12mEmE（用描述集合间关系的符号填写）6．设nE是可数集，则*mE=07．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果1a，Exfxa是可测集，则称fx在E上可测8．可测函数列的上极限也是可测函数9．设nfxfx，ngxgx，则nnfxgxfxgx10．设fx在E上L可积，则fx在E上可积11．设,AB为集合，则\BAAA（用描述集合间关系的符号填写）12．设211,2,Akk，则A=a（其中a表示自然数集N的基数）13．设nE，如果E中没有不属于E，则称E是闭集14．任意个开集的并是开集15．设1E、2E是可测集，且12EE，则1mE2mE16．设E中只有孤立点，则*mE=017．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果1a，Exfxa是可测，则称fx在E上可测18．可测函数列的下极限也是可测函数19．设nfxfx，ngxgx，则nnfxgxfxgx20．设nx是E上的单调增收敛于fx的非负简单函数列，则EfxdxlimnEnxdx21．设,AB为集合，则\ABBB22．设A为有理数集，则A=a（其中a表示自然数集N的基数）23．设nE，如果E中的每个点都是内点，则称E是开集24．有限个闭集的交是闭集25．设nE，则*mE026．设E是n中的区间，则*mE=E的体积27．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果1a，Exfxa是可测集，则称fx在E上可测28．可测函数列的极限也是可测函数29．设nfxfx，ngxgx..ae，则nfxgx30．设nfx是E上的非负可测函数列，且单调增收敛于fx，由勒维定理，有EfxdxlimnEnfxdx31．设,AB为集合，则\BABA=AB32．设A为无理数集，则A=c（其中c表示自然数集0,1的基数）33．设nE，如果E中没有不是内点的点，则称E是开集34．任意个闭集的交是闭集35．设nE，称E是可测集，如果nT，**mTmTE*cmTE36．设E是外测度为零的集合，且FE，则*mF=037．设fx是定义在可测集E上的实函数，如果1a，Exafxb是可测，（ab）则称fx在E上可测38．可测函数列的上确界也是可测函数39．设nfxfx，ngxgx..ae，则nnfxgxfxgx40．设nfxfx，那么由黎斯定理，nfx有子列knfx，使knfxfx..ae于E41.设,AB为两个集合,则__cABAB.（等于）42.设nER,如果E满足EE(其中E表示E的导集),则E是闭.43.若开区间(,)为直线上开集G的一个构成区间,则(,)满(i)(a,b)G(ii),aGbG44.设A为无限集.则A的基数__Aa(其中a表示自然数集N的基数)答案：45.设12,EE为可测集,2mE,则1212(\)__mEEmEmE.答案：46.设()fx是定义在可测集E上的实函数,若对任意实数a,都有[()]Exfxa是可测集E上的可测函数.47.设0x是E(R)的内点,则*__0mE.答案48.设()nfx为可测集E上的可测函数列,且()(),nfxfxxE,则由____黎斯__定理可知得,存在()nfx的子列()knfx,使得.()()()kaenfxfxxE.49.设()fx为可测集E(nR)上的可测函数,则()fx在E上的L积分值不一定存在且|()|fx在E上不一定L可积.50.若()fx是[,]ab上的绝对连续函数,则()fx是[,]ab上的有界变差函数.51．设,AB为集合，则___(\)ABBAA答案=52．设nER，如果E满足0EE（其中0E表示E的内部），则E是开集53．设G为直线上的开集，若开区间(,)ab满足(,)abG且,aGbG，则(,)ab必为G的构成区间54．设{|2,}Axxnn为自然数，则A的基数=a(其中a表示自然数集N的基数)55．设,AB为可测集，BA且mB，则__(\)mAmBmAB答案=56．设()fx是可测集E上的可测函数，则对任意实数,()abab，都有[()]Exafxb是可测集57．若()ER是可数集，则__0mE答案=58．设()nfx为可测集E上的可测函数列，()fx为E上的可测函数，如果.()()()aenfxfxxE，则()()nfxfxxE不一定成立59．设()fx为可测集()nER上的非负可测函数，则()fx在E上的L积分值一定存在60．若()fx是[,]ab上的有界变差函数，则()fx必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）1．设0,1E中无理数，则（ACD）AE是不可数集BE是闭集CE中没有内点D1mE2．设nE是无限集，则（AB）AE可以和自身的某个真子集对等BEa（a为自然数集的基数）CED*0mE3．设fx是E上的可测函数，则（ABD）A函数fx在E上可测Bfx在E的可测子集上可测Cfx是有界的Dfx是简单函数的极限4．设fx是,ab上的有界函数，且黎曼可积，则（ABC）Afx在,ab上可测Bfx在,ab上L可积Cfx在,ab上几乎处处连续Dfx在,ab上几乎处处等于某个连续函数5．设nE，如果E至少有一个内点，则（BD）A*mE可以等于0B*0mECE可能是可数集DE不可能是可数集6．设nE是无限集，则（AB）AE含有可数子集BE不一定有聚点CE含有内点DE是无界的7．设fx是E上的可测函数，则（BD）A函数fx在E上可测Bfx是非负简单函数列的极限Cfx是有界的Dfx在E的可测子集上可测8．设fx是,ab上的连续函数，则（ABD）Afx在,ab上可测Bfx在,ab上L可积，且,baabRfxdxLfxdxCfx在,ab上L可积，但,baabRfxdxLfxdxDfx在,ab上有界9．设Dx是狄利克莱函数，即10,100,1xDxx为中有理数为中无理数，则（BCD）ADx几乎处处等于1BDx几乎处处等于0CDx是非负可测函数DDx是L可积函数10．设nE，*0mE，则（ABD）AE是可测集BE的任何子集是可测集CE是可数集DE不一定是可数集11．设nE，10EcxExxE，则（AB）A当E是可测集时，Ex是可测函数B当Ex是可测函数时，E是可测集C当E是不可测集时，Ex可以是可测函数D当Ex是不是可测函数时，E不一定是可测集12．设fx是,ab上的连续函数，则（BD）Afx在,ab上有界Bfx在,ab上可测Cfx在,ab上L可积Dfx在,ab上不一定L可积13．设fx在可测集E上L可积，则（AC）Afx，fx都是E上的非负可积函数Bfx和fx有一个在E上的非负可积Cfx在E上L可积Dfx在E上不一定L可积14．设nE是可测集，则（AD）AcE是可测集BmECE的子集是可测集DE的可数子集是可测集15．设nfxfx，则（CD）Anfx几乎处处收敛于fxBnfx一致收敛于fxCnfx有子列nfx，使nfxfx..ae于EDnfx可能几乎处处收敛于fx16．设fx是,ab上有界函数，且L可积，则（BD）Afx在,ab上黎曼可积Bfx在,ab上可测Cfx在,ab上几乎处处连续Dfx在,ab上不一定连续17.设{[0,1]}E中的无理点,则(CD)（A）E是可数集（B）E是闭集（C）E中的每个点均是聚点（D）0mE18.若E(R)至少有一个内点，则（BD）（A）*mE可以等于０（B）*0mE（C）E可能是可数集（D）E不可能是可数集19．设[,]Eab是可测集，则E的特征函数()Ex是（ABC）（A）[,]ab上的符号函数（C）E上的连续函数（B）[,]ab上的可测函数（D）[,]ab上的连续函数20．设()fx是[,]ab上的单调函数，则（ACD）（A）()fx是[,]ab上的有界变差函数（B）()fx是[,]ab上的绝对连续函数（C）()fx在[,]ab上几乎处处收敛（D）()fx在[,]ab上几乎处处可导21．设{[0,1]}E中的有理点，则（AC）（A）E是可数集（B）E是闭集（C）0mE（D）E中的每一点均为E的内点22．若()ER的外测度为0，则（AB）（A）E是可测集（B）0mE（C）E一定是可数集（D）E一定不是可数集23．设mE，()nfx为E上几乎处处有限的可测函数列，()fx为E上几乎处处有限的可测函数，如果()(),()nfxfxxE，则下列哪些结果不一定成立（ABCD）（A）()Efxdx存在（B）()fx在E上L-可积（C）.()()()aenfxfxxE（D）lim()()nEEnfxdxfxdx24．若可测集E上的可测函数()fx在E上有L积分值，则（AD）（A）()()fxLE与()()fxLE至少有一个成立（B）()()fxLE且()()fxLE（C）|()|fx在E上也有L-积分值（D）|()|()fxLE三、单项选择1．下列集合关系成立的是（A）A\BAAB\ABAC\ABBAD\BAAB2．若nRE是开集，则（B）AEEB0EECEEDEE4．设nfx是E上一列非负可测函数，则（B）AlimlimnnEEnnfxdxfxdxBlimlimnnEEnnfxdxfxdxClimlimnnEEnnfxdxfxdxDlimlimnnEEnnfxdxfx5．下列集合关系成立的是（A）AccAABccAACccAADccAA6．若nRE是闭集，则（C）AEEBEECEED0EE7．设E为无理数集，则（C）AE为闭集BE是不可测集CmED0mE9．下列集合关系成立的是（B）AccAABccAACccAADcccAA10．设nRE，则(A)AEEBEECEEDEE11．设P为康托集，则（B）AP是可数集B0mPCP是不可数集DP是开集13．下列集合关系成立的是（A）A若AB则ccBAB若AB则ccABC若AB则ABBD若AB则ABB14．设nRE，则（A）AEEB0EECEEDEE15．设,001Exx，则（B）A1mEB0mECE是2R中闭集DE是2R中完备集16