数学分析定积分的基本性质

牡丹江师范学院教案学院系别：理学院课程名称数学分析（2）授课专业和班级授课内容定积分的基本性质授课学时2学时教学目的使学生理解定积分的五个基本性质，并能够运用这些性质进行定积分的计算和估值等问题的处理教学重点定积分的五个基本性质教学难点区间可加性及其应用教具和媒体使用教学方法启发式几何直观反例教学过程包括复习旧课、引入新课、重点难点讲授、作业和习题布置、问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容时间分配(90分钟)一、复习所需要的知识1．定积分的概念2．可积准则二、逐次给出定积分的五个基本性质，并加以证明和应用1、线性运算法则2、乘积的可积性3、绝对可积性4、保不等式性5、积分区间上的可加性6、说明一个重要结论定积分与函数再有限点处的值无关三、处理两个综合性问题：1、证明Schwartz不等式2、处理一个与保不等式性相关的重要结论四、总结作业560205板书设计定积分的基本性质性质1性质4性质6性质2性质5证明Schwarz不等式性质3问题2讲授新拓展内容关于],[2baL的介绍课后总结定积分的性质再定积分的计算与估值中的作用系主任年月日教学过程全设计与教学内容教学内容备注一、复习定积分的概念与可积准则（教师板书）给出本次课程在概念和可积准则的基础上来研究定积分的基本性质定积分的基本性质（板书）二．定积分的基本性质及其证明1.定积分的线性运算法则定理1若函数,[,]fgRab，则对任意的常数,R有+[,]fgRab，且()()d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx证明：应用定积分的定义，此处略。2.定积分的乘积可积性,[,]fgRab，则有[,]fgRab.证明：因,[,]fgRab，记|()|,|()|fgfxMgxM则对任意的0，存在分割1T，使得1()2iTgfxM，同理存在分割2T，使得2()2iTfgxM取分割分割12TTT,在此分割下，我们记每个小区间为i因使得，则|()()()()||()()()()||()()()()|,,[,]fxgxfygyfxgxfxgyfxgyfxgyxyab进而有,,,sup|()()()()|sup|()()|sup|()()()()|,iiifgxyxyxyfxgxfygyMgxgyMfxgyfxgy12121221()()()()()ifigifigiTTTTTTTTfgxMgxMfxMgxMfx（根据分割加细大和不增，小和不减的性质),所以有结论成立。关于乘积可积性的一个注一般地，()()d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx3.绝对可积性[,]fRab，则有||[,]fRab.且有不等式()|()|bbaafxdxfxdx.证明应用可积准则，略！绝对可积性的一个注||[,]fRab，但f不一定式黎曼可积的。反例：如函数为无理数为有理数x，xxf,11)(。4、保不等式性若函数],[,baRgf，且)()(xgxf，],[bax，则babadxxgdxxf)()(。证明应用定积分的概念，略！做为推论，保号性5、积分区间上的可加性（关于积分区间的可加性）函数)(xf在],[ba上可积),(bac，)(xf在],[ca与],[bc上都可积，此时有bacabcdxxfdxxfdxxf)()()(。证明略，但需要说明是，根据定积分的一个规定，点不在),(ba内上面等式也成立.6、定积分与有限点的值无关函数],[baRf，函数)(xg在区间],[ba上仅有有限点的值与)(xf不同，则],[baRg，且babadxxgdxxf)()(。证明：构造函数)()()(xgxfxF，应用可积函数类1，有],[baRg。从而对区间进行分化，取特殊的积分和（为0的）可以得到badxxF0)(，进而等式得证。三、处理两个问题，作为例题1、综合运用上面的一些定积分的性质，处理如下例题例1证明：函数)(xf在],[ba上连续，且0)(xf，badxxf0)(，则0)(xf。应用反正法，假设存在0)(],[00xfstbax，然后根据连续函数的保号性，定积分的区间可加性，定积分的包不等式性可以说明badxxf0)(2、和学生一起分析乘积的可积性，给Schwarz不等式，学生和教师来证明：（板书）Schwarz不等式:（教师先分析线性空间，向量内积和向量长的关系，引出],[2baL,[,]fgRab，则有[,]fgRab,且222()()d()d()dbbbaaafxgxxfxxgxx证明：分割积分区间，应用定积分的概念和柯西不等式容易证明，略！四、总结作业，下次课程继续研究乘积的可积性，给出积分中值定理。