9习题课

高等代数第九章习题课●1、知识体系●2、重点、难点●3、具体知识点●4、典型例题高等代数1、知识体系1.概念Euclid空间（与线性空间和立体空间比较异同）正交变换和对称变换（与线性变换定义比较增加什么）酉空间标准正交基（与线性空间基和立体空间的比较）,,ijk高等代数2.重要矩阵1、引进度量矩阵、正交矩阵、Hermite矩阵、酉矩阵其中，度量矩阵在第十章要详细讨论。弄清四种关系：①度量矩阵与正交矩阵之间关系；②度量矩阵与标准正交基之间的关系；③Hermite矩阵与实对称矩阵之间关系；④酉矩阵与正交矩阵之间的关系这些矩阵起什么作用？高等代数2、详细研究实对称矩阵（Hermite矩阵）的性质（特征值、特征向量、合同、相似对角形等问题）3、比较详细研究实反对称矩阵的性质（特征值、特征向量、合同、相似对角形等问题）4、比较详细研究正交矩阵（酉矩阵）的性质（特征值、特征向量、合同、相似对角形等问题）高等代数实对称矩阵正交相似对角形应用到空间解析几何二次曲面方程的化简；3、两个应用最小二乘法问题（数据拟合问题）高等代数①求标准正交基的施密特方法；4.重要方法②求基的度量矩阵的方法；③求实对称矩阵标准形的方法；④理解定理2的意义，知道过渡矩阵是对角元为正数的上三角形；⑤掌握柯西-步涅柯夫斯基不等式，今后将多次以不同形式出现；Ex14（关于LU分解）中用到这是解决下面问题③关键（与第七章对角化比就多了此点）第十章有类似问题且是解决问题关键高等代数⑥特殊矩阵（实对称矩阵、Hermite矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵、酉矩阵）的性质对应线性变换形式、特征值、特征向量、相似对角形问题、合同对角性问题等高等代数2、重点、难点重点：标准正交基、正交变换、对称变换、施密特正交化方法等难点：正交变换、3、具体知识点高等代数一、二、三、4、典型例题高等代数5、习题解答设是一维欧氏空间,是中一固定向量。证明：是的一子空间。证明：1110.0,1){|(,)0,}2)dim1.VnVVxxxVVVn证明：,故是的一子空间。证明：由于0线性无关，将它扩充为的一组正交基,则从而又有由于111211212111211112111221)0,,,,,(,)(,)(,)0;(,)(,)0,2),,,(,)0(2,,),,,,(,)0niinnVVxxVkRxxxxkxkxxxVkxVVVVinVVk+k+k即0故可由线性表出，从而是的一组基，122122112211,(,)(,)(,)(,)(,)0,,0,,,,,dim1.nnnnnnk+k+kk+k+kkkVVn高等代数镜面反射设是欧氏空间中一单位向量,定义证明：是维欧氏空间的一个正交变换，这样的正交变换称为；是第二类的；如果维欧氏空间中，正交变换以作为一个特征值，且属于特征值的特征子空间的维数为，那么是镜面反射。115.2(,).1)2)3)111nnVn高等代数先证保持线性运算，再证保持内积，注意是单位向量.由于是单位向量，将它扩充为的一组标准正交基,则从而在标准正交基下的矩阵的行列式等于-1，所以是第二类正交变换。证：22221)2),,,2(,),2(,)(2,,),11(,,,)(,,,)1,,,niiiinnnVin高等代数121121111112111)11,,,,(2,,),(,)(,)(,)1,11,,(2,,),3的特征值有个，其中为，另一个也是实数不妨设为，则存在一组基,使得因为是正交变换，所以故但是维的，则从而由于是实对称矩阵,属于它的不同特征值的特征向量必正交，证所以：niiiinninVninA111221111111(,)0(2,,),||,,,,111()()()||||||取，则是与正交的单位向量，,组成一组基，且innin高等代数2211111112212211221221221,,,,111()()()||||||(,)()22(,)则是与正交的单位向量，,组成一组基，且任取，有,,故即nnnnnnnnnnnnkkkVkkkkkkkkkkkkkk为镜面反射。高等代数16.证明：反对称实数矩阵的特征值是零或纯虚数．,为相应的特征向量，即则A证：设是反对陈实矩阵A的任意一个特征值，()()(),故故是零或纯虚数。AAAA高等代数补充1.证明：正交矩阵的实特征值为±1．,为相应的特征向量，即则A证：设是正交矩阵A的实特征值，22()()0,1,1.由于故从而AAAA高等代数补2.奇数维空间的旋转一定以1作为它的一个特征值．设旋转对应的正交矩阵为证么：那,A||||||||(1)||||nEAAAAAEAAEA又为奇数，且于是||1,|||||()|||nAEAEAEAEA故即为的一个特征值。||0,1EAA高等代数补3.第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值．||1,AA设是一个第二类正交变换对应的正交矩阵，则证：由于|||||||()|||EAAEAEAEA故即-为的一个特征值。||0,1EAA高等代数19.证明：实对称矩阵正定的充要条件是特征多项式的根全大于零．2211nnAnXAXXTYXAXyy设为阶实对称矩阵，二次型经过正交线性替换化为证：，2211nnAyy故正定正定1,,nA其中为的特征根，1,,n都大于零。高等代数20.设为阶实矩阵.证明：存在正交矩阵使为三角矩阵的充要条件是的特征多项式的根全是实的。1AnTTATA1111,nnnbbTTATb:设有正交矩阵使不妨设三角矩阵为上证明：三角矩阵。1111||||nnnbbEAETATb,ijTAb由于，均为实矩阵，从而都是实数并且1122()()()nnbbb1122,,.nnAnbbb因此的个特征根都是实数高等代数11,1(1,2,,)1niiiiAJPPAPJJJis:设的所有特征根都是实的，则存在可逆实矩阵使是若尔当标准形其中PPTSTS可分解为，其中为正交阵，为上三角矩阵。,iJ14由于从而都是实数所以为上三角实矩阵，由T知111PAPSTATSJ于是有111TATSJSSJS即,而是上三角形矩阵。高等代数21.设都是实对称矩阵.证明：存在正交矩阵，使的充要条件是的特征多项式的根全相同。1,,ABTTATBAB1,,TTATBAB:设有正交矩阵使则相似，故两者特征多项式相同，于是特征根相同。证明：1,,,nABXY设为的特征根，则存在正交阵和，使111,nXAXYBY1111,,YXAXYBTXYTTATB于是有取则是正交矩阵，且高等代数22.设是级实对称矩阵，且证明：存在正交矩阵，使。021.110AnAATTAT2222,,()()()0,00,0,1AAAAAAAAA设为的特征值是的属于的特征向量,则证于是即而，故故或明：高等代数1110ATTAT而是实对称矩阵，故存在正交矩阵，使。0高等代数23.证明：如果是维欧氏空间的一个正交变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间。n设为子空间，取的一组标准正交基将它扩充为的一组标准正交基则有证明1：11111,,,,,,,.(,,),(,,)rrrnrrnWWVWLWL因为为正交变换，所以也为为的一组标准正交基,由于是子空间,故也是的一组标准正交基，从而.111,,,,,,nrrnV1111rrnnrrnnaaWaaW因此是子空间。W高等代数23.证明：如果是维欧氏空间的一个正交变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间。n设为子空间，取的一组标准正交基则有又为正交变换是可逆的，从而线性无关,故存在证：明使21111,,,,,,,(,,),,,.rrrr,有从而故(,)(,)(,)0,WxyyWW因此是子空间。W高等代数23.证明：如果是维欧氏空间的一个正交变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间。n设为子空间，要证也是子空间只需证对有事实上，由于是的正交变证明3：换，,,(,)0.因此是子空间。W所以它有逆变换令则从而.,(,)(,)(,)0xyyxxyy是-子空间，故是的线性变换，又为正交变换，保持中所有向量长度不变，故保持中向量长度不变，从而是的正交变换.高等代数25.证明：向量是向量在子空间上的内射影对111,||||.VVV设是在子空间上的内射影,则有=+,于是即.因为向量到子空间各向量间的距离以垂线最证明：短，所以对任意1111111,,||||.VVVVVVV设=+其中,即是在子空间上的内射影.对于因为向量到子空间各向量间的距离以垂线最短，所以有111111111,,,||||.VVVVV高等代数111222111||||||||||||+||||=0V，由题设条件有，因此由勾股定理所以11,V即是在上的内射影。高等代数26.设是欧氏空间的两子空间，证明：1212121212,(),(),VVVVVVVVVVV证明：1)先证1212(),VVVV有从而即同理可证故从而有1211121221121212,,,,;,.()()VVVVVVVVVVVVVVVV高等代数且且有=其中于是故从而即于是12121212112212121212121212,,,,,(,)(,)(,)(,)0,,,,(())VVVVVVVVVVVVVVVVVV综上可得：1212()VVVV中以换换得从而)有2121211221212121212(),())),(()(VVVVVVVVVVVVVVVVVV高等代数补充1.证明：正交矩阵的实特征值为±1．,为相应的特征向量，即则A证：设是正交矩阵A的实特征值，22()()0,1,1.由于故从而AAAA