第八讲―14种布拉菲格子

第八讲14种布拉菲格子复习：点对称操作、7种晶系、32种点群360o/n(n=1,2,3,4,6)1(E,L1)2(C2,L2)3(C3,L3)4(C4,L4)6(C6,L6)1(i,C)2(σ,P),m3(S65,Li3)4(S43,Li4)6(S35,Li6)++,+_,旋转轴，n旋转反演轴，n点对称操作1(E)2(C2)3(C3)4(C4)6(C6)1(i)2(σ),m3(S65)4(S43)6(S35)(C41,C42,C43,C44)(C61,C62,C63,C64,C65,C66)(C31,C32,C33)n=1n(iCn),Sn=σCn(σh,σv,σd)S4(43),S42(42),S43(4),S44(E)点对称操作!!!(C21,C22)S6,S62(C3),S63(i),S64(C32),S65,S66(E)35,34,33,32,31,36S3,S32(C32),S33(σh),S34(C3),S35,S36(E)65,64,63,62,6,66对称条件晶系特点四个三次轴三斜单斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)两个2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)a≠b≠c,≠≠a≠b≠c,==90o≠a≠b≠c,===90oa=b≠c,===90oa=b≠c,==90o,=120oa=b=c,===90oa=b=c,==菱形a=b≠c,==90o,=120o全对称点群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m点群各符号的顺序晶系在国际符号中的位置123三斜单斜正交四方三方六方立方只用一个符号第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴2或2沿a2或2沿b2或2沿c4或4沿c2或2沿a和b2或2沿a±b3或3沿c2或2沿a、b和a+b6或6沿c2或2a、b和a+b3或3沿1112或2沿1102或2a、b和a+b2或2沿a、b和a+b4、4、2或2沿1001(L1)m(P)1(C)42m(Li42L22P)2(L2)2/m(L2PC)222(3L2)mm2(L22P)mmm(3L23PC)4(Li4)422(L44L2)4/mmm(L44L25PC)4mm(L44P)4/m(L4PC)4(L4)xyxyxy62m(Li63L23P)6(Li6)622(L66L2)6/mmm(L66L27PC)6mm(L66P)6/m(L6PC)6(L6)23(3L24L3)m3(3L24L33PC)432(3L44L36L2)m3m(3L44L36L29PC)3m(Li33L23P)3(L3)3m(L33P)32(L33L2)43m(3Li44L36P)3(Li3)xyxy32种点群及其点对称操作1(L1)三斜晶系1(C)单斜晶系(主轴c)2(L2)m(P)2/m(L2PC)E;C2;i;h1;2;1;2(m)主轴b正交晶系222(3L2)mm2(L22P)xyxyxyxyxyxymmm(3L23PC)2/m2/m2/mE;C2;C2’;C2’;i;h;v;v四方晶系4(L4)4/m(L4PC)4mm(L44P)4/mmm(L44L25PC)422(42,L44L2)4(Li4)42m(Li42L22P)四方晶系一般形，可直观地反映(尤其是同一晶系)各点群的差别4(L4)4/m(L4PC)4mm(L44P)4/mmm(L44L25PC)422(42,L44L2)4(Li4)42m(Li42L22P)六方晶系6(L6)xyxyxyxy6/m(L6PC)6mm(L66P)6/mmm(L66L27PC)xyxy622(62,L66L2)xyxy6(Li6)xyxy62m(Li63L23P)62m(Li63L23P)三方晶系3(L3)xyxy3m(L33P)xyxyxyxy32(L33L2)xyxy3(L3C)xyxy3m(L33L23PC)3m131m3213123m131m六方晶系42m(Li42L22P)62m(Li63L23P)6m2(Li63P3L2)4m2(Li42L22P)xyxyxyxyxyxy30o45oxy010111111111111100010100001110110110110011101101011xy010111111111111111111111100010010100100001110110110110110110110011101101101011011a=b=c,===90o立方晶系yxz立方晶系中的3h，6dyzxyzxxy45o60oxy010111111111111100010100001110110110110011101101011xy01011111111111111111111110001001010010000111011011011011011011001110110110101101190o54o44’,109o28’35o16’,70o32’面、方向、轴y-xz45o,90o,54o44’,109o28’35o16’,70o32’,60oxy010111111111111100010100001110110110110011101101011xyxy立方点群中的2次轴xyxy立方点群中的4、4次轴yxz23m3yyxxyxy一般点及其操作3、3、4、4、2次轴xy010111111111111100010100001110110110110011101101011立方晶系23(3L24L3)xy32(L33L2)xy32(L33L2)xyxy{3[111]}{3[111]}={2[010]}没有4次轴！XXyzx立方晶系没有4次轴！m3(2/m3,3L24L33PC)xyxyXXzyx没有4次轴！左右手问题yxXX立方晶系xy43m(3Li44L36P)没有4次真旋转轴！zyxxyxyXX立方晶系432(43,3L44L36L2)xy有4次轴！yzxyzxm3(2/m3,3L24L33PC)m3(2/m3,3L24L33PC)xyXXxyXXzyx立方晶系m3m(4/m32/m,3L44L36L29PC)xyxy有4次轴！yxz432(43,3L44L36L2)xy23(3L24L3)432(43,3L44L36L2)m3(2/m3,3L24L33PC)m3(2/m3,3L24L33PC)43m(3Li44L36P)43m(3Li44L36P)xy010111111111111100010100001110110110110011101101011xy010111111111111111111111100010010100100001110110110110110110110011101101101011011m3m(3L44L36L29PC)TThTdOOhyzxyzxTetragonalOctahedralTdyxXXyxxXXxyxy4/mmm(L44L25PC)6/mmm(L66L27PC)m3m(3L44L36L29PC)4/mmm(L44L25PC)E,2C4,C2,2C2’,2C2”,σh,2σv,2σd,i,2S46/mmm(L66L27PC)E,2C6,2C3,C2,3C2’,3C2”,σh,3σv,3σd,i,2S3,2S6m3m(3L44L36L29PC)E,8C3,3C2,6C4,6C2,3σh,6σdi,8S6,6S4,1(E)2(C2)3(C3)4(C4)6(C6)1(i)2(σ),m3(S65)4(S43)6(S35)(C41,C42,C43,C44)(C61,C62,C63,C64,C65,C66)(C31,C32,C33)n=1n(iCn),Sn=σCn(σh,σv,σd)S4(43),S42(42),S43(4),S44(E)点对称操作!!!(C21,C22)S6,S62(C3),S63(i),S64(C32),S65,S66(E)35,34,33,32,31,36S3,S32(C32),S33(σh),S34(C3),S35,S36(E)65,64,63,62,6,66从旋转点群推导32种点群点群的熊夫利斯符号11种纯旋转群：123462223242262223432C1C2C3C4C6D2D3D4D6TO循环点群二面体点群立方点群11种中心对称点群：m3m3mS2C2hS6C4hC6hD2hD3dD4hD6hThOh12/m34/m6/mmmm3m4/mmm6/mmm10种新子群：m3m3m12/m34/m6/mmmm3m4/mmm6/mmmC1hS4C3hC2vC3vC4vD2dC6vD3hTdmmm2463m4mm42m43m6mm6m2推导32种点群的熊夫利斯方案熊夫利斯符号五种循环群Cn(5种)Cnh=Cn×{E,σh}(5种)Cnv=Cn×{E,σv}(4种,C1v=C1h)非真旋转Sn(3种，n=2,4,6)Dn=Cn×{E,C2[100]}(4种)Dnh=Cnh×{E,d}(4种)Dnd=S2n×{E,C2[100]}(n=2,3共2种)立方点群(无主轴）5种:T,Th,Td,O,Oh第八讲14种布拉菲格子旋转对称性晶系、参考轴初基P单胞(6)有心化新的点阵(有心8种)满足点阵条件+晶系不变P点阵中高对称位置加心(体心I,全面心F,单面心A,B或C双面心)14种布拉菲点阵旋转对称性六方格子特殊心菱形(三方)单胞ABXXXX双面心不满足点阵条件！对称条件晶系特点四个三次轴三斜单斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)两个2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)a≠b≠c,≠≠a≠b≠c,==90o≠a≠b≠c,===90oa=b≠c,===90oa=b≠c,==90o,=120oa=b=c,===90oa=b=c,==菱形a=b≠c,==90o,=120o全对称点群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m三斜晶系单斜晶系三斜P单斜P单斜B单斜C=P不是新点阵单斜B=I=F=Ab轴为唯一轴:B=P，C=I=F=A正交P正交C正交I正交F正交晶系正交C=A=B≠P?立方P立方I,bcc立方F,fcc四方I四方P四方晶系立方晶系四方C=P≠A≠B四方F=I单面心破坏4个3次对称性！非点阵非点阵六方晶系三方菱形晶系六方P三方R底面心：正交侧面心：非点阵+c/2体心：非六方点阵+c/2(1/3,2/3,0)：P+2c/3+c/3±(1/3,2/3,2/3)：R有心化±(1/3,2/3,1/3)：R+2c/3+c/3abc正定向+c/3+2c/3abc反定向六角单胞有心化后，已不具有6次对称性，却导出有3次对称性的菱形初基单胞。R点阵可由两种轴系表示：R晶系、六角晶系a=b≠c,==90o,=120oa=b=c,==菱形R单胞有心化面心体心R单胞只有P格子不同轴长和轴间角作业：Page65-66:2,3,4,10,11