高等代数(第三版)9-习题课

一、主要内容二、典型例题一、欧氏空间基本概念1.内积、欧氏空间的概念及其简单性质.2.柯西—布涅可夫斯基不等式:3.向量的长度:4.两个非零向量与的夹角:2(,)(,)(,)(,)(,)arccos0二、正交补内射影12121,WW,W3.W是欧氏空间V的子空间,则V=WW且V可以唯一写成=+其中，则称是在上的内射影.1.向量与集合正交的概念.2.欧氏空间的子空间的正交补的概念.三、欧氏空间的同构1.欧氏空间同构的概念.2.两个有限维欧氏空间同构它们的维数相同3.每个n维欧氏空间都与同构.nR四、欧氏空间的线性变换1.正交变换(1)V的线性变换是正交变换①保持向量的长度不变.②保持向量的内积不变.③把规范正交基仍变为规范正交基.④关于规范正交基的矩阵是正交矩阵.⑤保持向量间的距离不变(,)((),())dd(2)正交矩阵的性质①正交矩阵为可逆矩阵,其逆仍为正交矩阵.②正交矩阵的行列式为1或-1.③正交矩阵的伴随矩阵是正交矩阵.2.对称变换(1)假如欧氏空间的线性变换满足:那么叫做对称变换.(2)n维欧氏空间的线性变换是对称变换当且仅当在的标准正交基下的矩阵是对称矩阵.(3)设是欧氏空间的对称变换,若W是的不变子空间,则也是的不变子空间.))(,()),((W(4)实对称矩阵的特征值都是实数,相应地有对称变换的特征值都是实数.(5)设A是实对称矩阵,则属于A的不同特征值的特征向量是正交的.(6)任一个阶实对称矩阵都可以正交对角化,即存在正交矩阵U,使得是对角形式,相应地有对于欧氏空间的任一个对称变换,存在一组标准正交基,使得这个标准正交基下的矩阵是对角形式.'1UAUUAU本章的重点是:欧氏空间的基本概念、标准正交基、正交变换和正交矩阵、对称变换与对称矩阵.难点是:正交变换、正交补、对称变换.本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：欧氏空间内积定义子空间欧式空间子空间正交补标准正交基正交变换同构对称变换对称矩阵酉空间作业：P271：2，3