点的运动学

第六章点的运动学运动学:研究物体运动的几何性质（运动轨迹、运动方程、速度和加速度）。动力学:研究物体运动状态的变化与作用力之间的关系。一、研究内容二、研究模型：所研究的力学模型是质点和质点系。质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保持不变，也称不变的质点系。第6章质点的运动学与动力学§6-1矢量法和直角坐标法rrt1、运动方程2、运动轨迹的矢端曲线r动点Ｍ运动时，其矢径r的末端描绘出的一条连续曲线，称为矢端曲线，显然，它就是动点Ｍ的运动轨迹。一。矢量（径）法矢径法、直角坐标法、自然坐标法rOMxzy速度方向矢径矢端曲线切线点M在t瞬时的速度：dtrdv3、运动特征速度v加速度advadt22dtrd直角坐标与矢径坐标之间的关系rxiyjzk1、运动方程()()()xxtyytzzt二。直角坐标法2、运动轨迹运动方程中消去时间tddxxvtddyyvtddzzvtddddddddxyzrxyzvijkvivjvktttt速度3、运动特征222zyxvvvvvvkvvvjvvvivzyx),cos(),cos(),cos(ddddddddxyzrxyzvijkvivjvkttttrxiyjzk22yyvyattdddd22zzvzattdddd22xxvxattdddd加速度ddddddddyxzxyzvvvvaijkaiajaktttt222zyxaaaacos,cos(,)cos(,)xyza(ai)aaajaaakaddddddddyxzxyzvvvvaijkaiajaktttt例：一人在路灯下由灯柱起以匀速u沿直线背离灯柱行走。设人高AB=l，灯高OC=h，试求头顶影子M的速度和加速度。hOCABlM解：取坐标轴Ox如图。即得M点的直线运动方程M点的速度而加速度a=0，即M点作匀速运动。OMBMOCABxxuthlhxuthlddxhvuthlxhOCABlutxM例题：半径是r的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（纯滚动）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求M点的运动方程，速度和加速度。OxyHCDMφCDM因车轮滚动而不滑动AHOHOAxAMy解：1.求M点的运动方程。CDMOxyHCDMφA)90cos(0rrsinrr)90sin(0rrcosrrMHOH弧故有BsinrtrtcosrrtCDM)sin(ttrx)cos1(try方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。得M点的运动方程CDMOxyP)cos1(trvxtrvysin2sin2sin)cos1(2222trttrvvvyxcos(,)coscos22yvvtvj2.求M点的速度。)sin(ttrx)cos1(tryHCDMφvtraxsin2traycos2222raaayxcos(,)cosyaaaj,0xv;0yv,0xa2ray当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。3.求M点的加速度。)cos1(trvxtrvysin时，当2tHCDMφa6.2自然坐标法运动方程1在许多工程实际问题中，点的运动轨迹往往是已知的。利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系，并用它们来描述和分析点的运动的方法称为自然法。弧坐标：（1）坐标原点(一般在轨迹上任选一参考点作为坐标原点)；（2）正、负方向(一般以点的运动方向作为正向)；用弧坐标表示点的运动方程（3）点的运动方程，可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。)(tss当M´点无限接近于M点时，过这两点的切线所组成的平面，称为M点的密切面。MM´自然轴系2副法线单位矢量bn自然坐标轴自然坐标系ddddddddrrssvvtstt3速度ddddddddrrssvvtsttddddddddrrssvvtsttsrdsrdt0lim)(tssddddddvvavttt4加速度?τtddvvddddddvvavttttddτρ1vs?tssddddddτ22sinlim0nτddddτ2sin2lim0τ?τddτlim01当0时，和´以及同处于P点的密切面内，这时，的极限方向垂直于，亦即n方向。tsstddddddddττnvnτdda2vtvddddddvvavttt22tnaaa全加速度22ddddvsatt切向加速度221ddnvsat法向加速度0banaatannτdda2vtv判断下列运动是否可能出现,若能出现判断是什么运动?加速曲线运动(不可能)(匀速曲线运动)(不可能)(减速曲线运动)点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走过的弧长与时间的一次方成正比。请判断点的运动性质：(A)越跑越快；(C)加速度越来越大；(D)加速度越来越小。(B)越跑越慢；kts0dtdva22kvankdtdsv例：半径为ｒ的轮子可绕水平轴Ｏ转动，轮缘上绕以不能伸缩的绳索，绳的下端悬挂一物体Ａ，如图所示。设物体按规律下落，其中ｃ为一常量。求轮缘上一点Ｍ的速度和加速度。221ctx解:M点的轨迹显然是半径为r的圆周。设物体在位置A0时M点的位置在M0，以M0为原点，则由于绳不能伸缩，可知弧坐标：221ctxs自然法表示的Ｍ点的运动方程。ctdtdsv方向沿轨迹的切线并朝向运动前进的一方。Ｍ点的速度ｖ的大小：vcdtdvarctvan22Ｍ点的切向和法向加速度的大小分别为：ana课堂自学.①用柱坐标法给出点的运动方程。②与有何不同?就直线和曲线分别说明。dtvddtdv(直线.曲线都一样),为速度的大小变化率,在曲线中应为切向加速度。adtvdadtdvdtdva)()()(321tfztfrtf柱坐标法方程③指出在下列情况下,点M作何种运动?1,2,34,56789100na常数a0a常数0a0na常数va,0常数常数naa,00na0a常数常数naa,(匀变速直线运动)(匀速圆周运动)(匀速直线运动或静止)(直线运动)(匀速运动)(圆周运动)(匀速运动)(直线运动)(匀速曲线运动)(匀变速曲线运动)④点作曲线运动,画出下列情况下点的加速度方向。1M1点作匀速运动2M2点作加速运动3M3点作减速运动⑤判断下列运动是否可能出现,若能出现判断是什么运动?(加速运动)(不可能)(匀速曲线运动)(不可能或改作直线加速运动)(不可能或改作直线减速运动)(不可能)(减速曲线运动)⑥1点作直线运动时,若其速度为零,其加速度也为零2点作曲线运动时,若其速度大小不变,加速度是否一定为零答:1不一定.速度为零时加速度不一定为零(自由落体上抛到顶点时)2加速度不一定为零，只要点作曲线运动，就有向心加速度⑦切向加速度和法向加速度的物理意义？答：表示速度大小的变化表示速度方向的变化dtdva2van⑧点M沿着螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比，问点的加速度是越来越大，还是越来越小？点是越跑越快，还是越跑越慢？常数bdtdSvabtS222,,0baabvadtdvann由于点由外向内运动,曲率半径越来越小,所以加速度越来越大。而速度v=常数,故点运动快慢不变。解：⑨证明是沿着主法线方向,即。dtddtddtddtddtddtddt)d(02001证明:作业：6－3，5，6，8