点直线平面之间的位置关系-教师版

1点.直线.平面的位置关系知识点一平面的基本性质（五个公理）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。图形语言：符号语言：,,,AlBlABl公理1的作用：既可判定直线是否在平面内、点是否在平面内，又可用直线检验平面。公理2：过不在一条直线的三点，有且只有一个平面。图形语言：公理2的作用：①确定平面，②可用其证明点、线共面问题。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有．．．．一条过该点的公共直线。图形语言：符号语言：PlPl且,,,,.ABCABC三点不共线有且只有一个平面，使公理3的作用：①是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相交于过这点的一条直线；②它可判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行。（空间平行线的传递性）2知识点二空间中直线与直线的位置关系相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等．．或互补．．。异面直线夹角的取值范围:00(0,90]知识点三空间中直线与平面的位置关系(1)直线在平面内——有无数个公共点；(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；(3)直线与平面平行——没有公共点。直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。知识点四平面与平面的位置关系(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线。知识点五直线与平面平行的判定判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号语言:abab∥a∥思想:线线平行线面平行知识点六平面与平面平行的判定判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。符号语言：,,ababAab∥，∥∥思想：线面平行→面面平行.3知识点七直线与平面平行的性质性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。符号语言：,,llm∥lm∥图形语言：知识点八平面与平面平行的性质性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号语言：ab∥＝，＝ab∥图形语言：知识点九直线与平面垂直的判定判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线．．．．．．都垂直，则该直线与此平面垂直。符号语言：,,,mnmnBlmlnl图形语言：思想：线线垂直线面垂直知识点十平面与平面垂直的判定判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：,ll图形语言：思想：线面垂直面面垂直mlDCBA4知识点十一直线与平面垂直的性质性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：,,lmlm图形语言：知识点十二平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：,,,mllml图形语言：例题解析例1已知四个命题：①三点确定一个平面；②若点P不在平面α内，A、B、C三点都在平面α内，则P、A、B、C四点不在同一平面内；③两两相交的三条直线在同一平面α内；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个例2A、B、C分别表示不同的三点，l表示直线，α、β表示两个不同的平面，下列推理不正确的是（）A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈αlαB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈βα∩β＝直线ABC．lα，A∈lAαD．l，AlA解析：由公理1知A正确；由公理3知B正确；由公理2知D正确；对于C，由lα，有二种情况：l∥α或l与平面α相交．当l与平面α相交且交点为A时，C不正确；选C．例3abc、、为三条不重合的直线，、、为三个不重合平面，5现给出六个命题①a∥cb∥c⇒a∥b②a∥γb∥γ⇒a∥b③α∥cβ∥c⇒α∥β④α∥γβ∥γ⇒α∥β⑤α∥ca∥c⇒α∥a⑥a∥γα∥γ⇒α∥a其中正确的命题是()A.①②③B.①④⑤C.①④D.①③④解析：①④正确，②错在a、b可能相交或异面．③错在α与β可能相交．⑤⑥错在a可能在α内．[例4已知mn、为直线，、为平面，给出下列命题：①m⊥αm⊥n⇒n∥α②m⊥βn⊥β⇒m∥n③m⊥αm⊥β⇒α∥β④m⊂αn⊥βα∥β⇒m∥n其中正确的命题序号是（）A.③④B.②③C.①②D.①②③④解析：对于①，有可能出现直线n在平面α内，所以推不出n∥α，所以①错；对于②，垂直于同一个平面的两直线是平行的，②正确；对于③，垂直于同一直线的两平面平行，③正确；对于④，由α∥β，n⊥β得n⊥α，又m⊂α，则n⊥m，所以④错．答案：B[来源:学_科_网]题组一线面垂直的判定与性质1.(2010·烟台模拟)如图在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1，AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在面ABC上的射影H必在二平面交线AB上．答案：A62.m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.解析：①显然正确；②错误，n还可能在β内；③错误，n可能与β相交但不垂直；④正确．答案：①④题组二平面与平面垂直的判定与性质3.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：由三垂线定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)4.(2009·苏北模拟)在四棱锥S－ABCD中，已知AB∥CD，SA＝SB，SC＝SD，E、F分别为AB、CD的中点．(1)求证：平面SEF⊥平面ABCD；(2)若平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l.解：(1)证明：由SA＝SB，E为AB中点得SE⊥AB.由SC＝SD，F为CD中点得SF⊥DC.又AB∥DC，∴AB⊥SF.又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEF.又∵AB⊂平面ABCD，∴平面SEF⊥平面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD⊂面SCD，∴AB∥平面SCD.又∵平面SAB∩平面SCD＝l，根据直线与平面平行的性质定理得AB∥l.题组三直线、平面垂直的综合问题5.(2010·岳阳模拟)设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命7题不成立的是()A．c⊥α，若c⊥β，则α∥βB．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥cC．b⊂β，若b⊥α，则β⊥αD．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则b⊥a解析：C选项的逆命题为b⊂β，若β⊥α则b⊥α.不正确，因为根据平面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，其中一个平面内的直线只有垂直交线的才垂直另一个平面．答案：C6.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则下列命题中错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：因为三棱锥A－A1BD是正三棱锥，故顶点A在底面的射影是底面的中心，A正确；平面A1BD∥平面CB1D1，而AH垂直于平面A1BD，所以AH垂直于平面CB1D1，B正确；根据对称性知C正确．答案：D7.(文)(2009·天津高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝22.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；解：(1)证明：设AC∩BD＝H，连结EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.题组四直线与平面所成的角、二面角8.(2009·浙江高考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面8BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，取BC中点E，连结DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE＝32，DE＝12，tan∠ADE＝AEDE＝3212＝3，∴∠ADE＝60°.答案：C自主提升1.若异面直线,ab分别在平面,内，且l，则直线l()A.与直线,ab都相交B.至少与,ab中的一条相交C.至多与,ab中的一条相交D.与,ab中的一条相交，另一条平行解析：lablaallb若与，都不相交，与都在内，，与都在内，Bblab，，与条件矛盾．答案：2.已知三条直线,,abc和平面，则下列推论中正确的是()A.若abba，，则B.若abab、与所成的角相等，则C.若ababab，，，共面，则D.若acbcab，，则解析：ABabbaab项错误，，，也可能有；项错误，若，与Dabacbc所成角相等可推出，平行，相交，异面．项错误，，，ab可推出，C平行，相交，异面．答案：3.已知,mn是两条不同直线，、、是三个不同平面．下列命题中正确的是()A.若mnmn，，则B.若，，则C.若mm，，则D.若mnmn，，则解析：举反例，如下图所示．9D是线面垂直的一个性质，故选D项．答案：D4.设abc，，是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若abbcac，，则②若abbcac、是异面直线，、是异面直线，则、也是异面直线③若abbcac和相交，和相交，则和也相交④若abbcac和共面，和共面，则和也共面其中真命题的个数是________个．解析：abbcac，，与可以相交、平行、异面，故①错．abbc、异面，、异面，ac则、可能异面、相交、平行，故②错．abbc由、相交，、相交，ac则、可以异面，故③错．0同理④错，故真命题个数为个．答案：05.,ab是两条异面直线，A是不在,ab上的点，则下列结论成立的是()A.过A有且只有一个平面平行于,abB.过A至少有一个平面平行于,abC.过A有无数个平面平行于,abD.过A且平行,ab的平面可能不存在解析:如当A与a确定的平面与b平行时，过A作与,ab都平行的平面不存在.答案：D6.已知直线a与直线b垂直,a平行于平面,则b与的位置关系是()A.bB.bC.b与相交D.以上都有可能解析:ab与垂直,ab与的关系可以平行、相交、异面,a与平行,所以b与的位置可以平行、相交、或在内,这三种位置关系都有可能.答案:D7.下列命题正确的个数是()(1)若直线l上有无数个点不在内，则l(2)若直线l与平面平行，l与平面内的任意一直线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另