辅助角公式专题练习

辅助角公式专题训练2013.3一．知识点回顾对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：y=asinx+bcosxabxaabxbab222222(sincos)··。记aab22=cosθ，bab22=sinθ，则2222(sincoscossin)sin()yabxxabx由此我们得到结论：asinx+bcosx=abx22sin()，（*）其中θ由22cos,aab22sinbab来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(x)+k的形式。二．训练1.化下列代数式为一个角的三角函数（1）13sincos22；（2）3sincos；（3）sincos（4）26sin()cos()6363．（5）5sin12cos（6）sincosaxbx2．函数y＝2sinπ3－x－cosπ6＋x(x∈R)的最小值等于()A．－3B．－2C．－1D．－53.若函数()(13tan)cosfxxx，02x，则()fx的最大值为()A．1B．2C．31D．324.（2009安徽卷理）已知函数()3sincos(0)fxxx，()yfx的图像与直线2y的两个相邻交点的距离等于，则()fx的单调递增区间是()A.5[,],1212kkkZB.511[,],1212kkkZC.[,],36kkkZD.2[,],63kkkZ5.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=8对称，那么a=()（A）2（B）2（C）1（D）-16．函数y＝cosx＋cosx＋π3的最大值是________．7.若23sin()cos()12123xx，且02x，求sincosxx的值。8.求函数fxkxkxx()cos()cos()sin()613261322332(,)xRkZ的值域。6.（2006年天津）已知函数xbxaxfcossin)(（a、b为常数，0a，Rx）在4x处取得最小值，则函数)43(xfy是（）A．偶函数且它的图象关于点)0,(对称B．偶函数且它的图象关于点)0,23(对称C．奇函数且它的图象关于点)0,23(对称D．奇函数且它的图象关于点)0,(对称6.D9.若sin(50)cos(20)3xx，且0360x，求角x的值。11.已知向量(cos(),1)3ax,1(cos(),)32bx,(sin(),0)3cx,求函数()hx=2abbc的最大值及相应的x的值.（本题中可以选用的公式有21cos21cos,sincossin222a）参考答案1.（6）22222222sincos(sincos)sin()abaxbxabxxabababx其中辅助角由2222cossinaabbab确定，即辅助角的终边经过点(,)ab2.[答案]C[解析]y＝2sinπ3－x－cosπ6＋x＝2cosπ6＋x－cosπ6＋x＝cosx＋π6(x∈R)．∵x∈R，∴x＋π6∈R，∴ymin＝－1.3.答案：B解析因为()(13tan)cosfxxx=cos3sinxx=2cos()3x当3x是，函数取得最大值为2.故选B4.答案C解析()2sin()6fxx，由题设()fx的周期为T，∴2，由222262kxk得，,36kxkkz，故选C5.解：可化为yax122sin()。知x8时，y取得最值±12a，即7.[答案]3[解析]法一：y＝cosx＋π3－π3＋cosx＋π3＝cosx＋π3·cosπ3＋sinx＋π3sinπ3＋cosx＋π3＝32cosx＋π3＋32sinx＋π3＝332cosx＋π3＋12sinx＋π3＝3cosπ6－x－π3＝3cosx＋π6≤3.法二：y＝cosx＋cosxcosπ3－sinxsinπ3＝32cosx－32sinx＝332cosx－12sinx＝3cosx＋π6，当cosx＋π6＝1时，ymax＝3.10.解：。)2x2sin(4]6sin)x23cos(6cos)x23[sin(4)x23sin(32)x23cos(2)x23sin(32)x23k2cos()x23k2cos()x(f所以函数f(x)的值域是[-4，4]。11.解:21()cos()sin()cos()23233hxxxx=21cos(2)1233sin(2)2232xx=1212cos(2)sin(2)22323xx=22222[cos(2)sin(2)]222323xx=211cos(2)2212xmax2()2.2hx这时111122,.1224xkxkkZ.12.如图3,记扇OAB的中心角为45,半径为1,矩形PQMN内接于这个扇形,求矩形的对角线l的最小值.解:连结OM,设∠AOM=.则MQ=sin,OQ=cos,OP=PN=sin.PQ=OQ-OP=cossin.222lMQPQ=22sin(cossin)=31(sin2cos2)22=135sin(2)22,其中11tan2,1(0,)2,11arctan2.04,111arctan2arctan.2222min3522l,min512l.所以当11arctan422时,矩形的对角线l的最小值为512.NBMAQPO图3书资料