声学基础第一章-弹性波理论基础1-1(2012年新版)

第一章完全弹性体介质中弹性波传播规律流体（液体、气体）的力学特征：流体中任取一个面元，面元所受周围流体的作用力,其大小与面元有关，方向总是垂直于面元（无切向力）。理想流体；流体中体元作机械运动时无机械能损耗。理想流体中的机械波是纵波。弹性体（固体）的力学特征：弹性体中任取一个面元，面元所受周围弹性体的作用力，其大小和方向均与面元有关，但方向并不一定与面元垂直（存在切向力）。完全弹性体：弹性体中体元作机械运动时无机械能损耗。完全弹性体中的机械波有纵波和横波两类。弹性体在外力作用下会发生形变；形变分为弹性形变和范性形变；本课所分析的是弹性形变；并且是在弹性范围内的小幅度形变；1－1弹性体介质的基本特性1o弹性体中的应力张量（矩阵）、应力分量流体内面积微元所受周围流体的作用力与面元的关系：与方向反向，因而，与之间由一个标量联系，该标量就称为压强。流体中每一空间点的力的状态由该点的压强（标量）描述。dsdssPdfdfdfd其中，P；流体内部压强但是，在弹性体内部，面积微元所受周围弹性体的作用力与面元的方向并不保持一致。所以，在弹性体内部，面积微元所受周围弹性体的作用力与之间不能由一个标量联系。那么，会是那类物理量将与联系起来？fddsfdds与之间由一个张量（矩阵）联系：fddssdTfdkdfjdfidffdzyx如果记：kdsjdsidssdzyx有：k)dsTdsTdsT(j)dsTdsTdsT(i)dsTdsTdsT(kdsjdsidskkTjkTikTkjTjjTijTkiTjiTiiTkdfjdfidfzzzyzyxzxzyzyyyxyxzxzyxyxxxzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxkkTjkTikTkjTjjTijTkiTjiTiiTTzzzyzxyzyyyxxzxyxx为弹性体的应力张量。（应力张量的每一个分量是一个并矢量）称：)dsTdsTdsT()dsTdsTdsT()dsTdsTdsT(dsdsdsTTTTTTTTTdfdfdfzzzyzyxzxzyzyyyxyxzxzyxyxxxzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyx也简记作：称zzzyzxyzyyyxxzxyxxTTTTTTTTTT为应力矩阵。弹性体内每一空间点的力的状态，由该点的应力张量（应力矩阵）描述。应力张量（应力矩阵）由9个分量（元素）构成。应力张量各个分量（元素）的物理意义：方向的受力。方向面元在ab;TabzzzyzxyzyyyxxzxyxxTTTTTTTTTT利用弹性体内体元力矩平衡条件，可得：应力张量（应力矩阵）是对称张量（矩阵）；即：baabTT所以，应力张量（应力矩阵）是由6个独立元素构成的33阶张量（应力矩阵）。如果记：切应力）（；；；；（正应力）；；654321TTTTTTTTTTTTxyxzyzzzyyxx345426561TTTTTTTTTTTTTTTTTTTzzzyzxyzyyyxxzxyxx也即：65432161TTTTTTT~T一个列向量：应力矩阵元素可以构成2o弹性体中的应变张量（矩阵）、应变分量弹性体内的应力是弹性体形变产生的，下面分析产生应力的形变如何描述：M点的位置：形变后的位置其形变位移形变位移不代表示形变，更不能产生应力。（举例说明）kzyxjzyxizyxzyx),,(),,(),,(),,(kzjyixzyxR),,(kzjyixzyxzyxR)()()(),,(),,((,,)rdrxdxydyzdzM的相邻点Q，坐标位置：形变后，Q位移至点Q’点：相对位移形变：dddr绝对位移形变：ddr?问题：rdzyxzyxzyxdzdydxzyxzyxzyxdddddzzdyydxxdzzdyydxxdzzdyydxxdddd因为：zyxzyxzyxrdd所以：这是，‘相对位移形变张量（矩阵）’；它是产生应力的原因，但并不是‘相对位移形变张量（矩阵）’的全部对产生应力有贡献。3333'zyxzyxzyxrdd根据矩阵分解定理，可知：元素的反对称矩阵。线阶对角阶对称矩阵和分别为和其中，03333'33330)(21)(21)(210)(21)(21)(210')(21)(21)(21)(21)(21)(213333yzxzyzxyxzxyzyzxzyzyxyxzxyx有：可以证明，变张量。产生应力的相对位移形对称矩阵是使弹性体内量；它不产生应力。变张旋转产生的相对位移形是‘刚性’反对称矩阵3333,'分析：为线形变的相对伸长量：形变后线段方向分量：的伸长量在线段对应点的坐标位置：xdxdxdxxxdxxcadbxdxdxxdxxddxxcxxbxaxdxxdx)()()(::)(::为角（切）形变方向相对伸长量：的线段方向伸长量：的形变后线段坐标位置：对应点的1),(),(),(:),(::xdxydxdxxyxydxxydxydxxycyxybyayydxydx也为角（切）形变方向相对伸长量：的线段同理可得：2ydyxdyxdy起应力。转动，所以该量不会引微元的整体由于该量反映的是体积影角为：高阶小量，可得：该投在小形变条件下，忽略的投影角；的转动在之间的夹角为体积微元的投影平面上在与形变后的平面上的投影在参照上图，分析：);(21)(21''''21yxxoyQMxoyQMQMxoyMQxyxy定义:弹性体内与应力有关的相对位移形变张量为应变张量，记作。（注意非对角元素与非对角元素的1/2系数，一般弹性理论这样定义，本教材同此）zyzxzyzyxyxzxyx)()()()()()(33333333;;;321345426561zyxzzyyxxzzzyzxyzyyyxxzxyxx其中：正应变：一般应变张量也简记作：统称为应变分量。应变：切;)(;)(;)(654xyxzyzyxxyzxxzzyyz65432161：）可以构成一个列向量应变矩阵的分量（元素~()(())Tf11121314151621222324252631323334353641424344454651525xxxxyyzzyzzxxyyyxxyyzzyzzxxyzzxxyyzzyzzxxyyzxxyyzzyzzxxyzxxxyyTccccccTccccccTccccccTccccccTccc3545556616263646566zzyzzxxyxyxxyyzzyzzxxycccTcccccc在小形变条件下，应力与应变之间可用线性关系表示：3o应力应变之间的关系（广义虎克定律）弹性体内的应力是由应变引起的，因而应力是应变的函数：（广义虎克定律）用矩阵表示：矩阵称作弹性常数矩阵；为弹性常数。此式为广义虎克定律。66Cijc654321666564636265655545352546454443424363534333232625242322265432654321ccccccccccccccccccccccccccccccccccccTTTTTT111111111111对各向同性的弹性体，[c]矩阵中的36个弹性常数可用两个独立常数表示：例如：拉梅常数；或杨氏模量、泊松系数。),(),E(用拉梅常数，表示应力与应变的关系：),(yzyzxzxzxyxyzzzzyyxxzzyyzzyyxxyyxxzzyyxxxxT;T;T;)(T;)(T;)(T222作业：试用拉梅常数，表示为弹性常数。),(ijc用杨氏模量和泊松系数，表示应力与应变的关系：),E(yzyzxzxzxyxyyyxxzzzzxxzzyyyyzzyyxxxx)(ET;)(ET;)(ET);TT(ET);TT(ET);TT(ET121212作业：试用杨氏模量和泊松系数表示拉梅常数。),E(),()(E;))((E),E(),(12211的关系：与杨氏模量泊松系数可得拉梅系数