《大学物理学》PPT课件.ppt

1大学物理学2第一篇力学3第1章质点运动学(8)(Kinematicsofparticle)内容提要描述质点运动的物理量相对运动4§1-1矢量一.矢量的表示法aAa=|a|aax、ay、az分别是矢量a在坐标轴x、y、z上的投影(分量)。i、j、k分别是沿x、y、z轴正方向的单位矢量(恒矢量)。xaxayazyzoa图1-1A=|A|1kjikajaiaazyx222zyxaaaaa5二.矢量的加、减法ab三角形法abab+=？多边形法acbbac=?-ab=？jia43jib62jiba106三.标量积(点积、数量积、内积)cosabbabaabbacosbakajaiaazyxkbjbibbzyxzzyyxxbabababa7四.矢量积(向量积、叉积、外积)积C的方向垂直于矢量a和b组成的平面，baccbasinabbackajaiaazyxkbjbibbzyxbaijkxayazaxbybzbcosabbac指向由右手螺旋法则确定。81.矢量函数的微商与标量函数的微商不同：矢量函数的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商五.矢量函数A(t)的微商dtdAtAlimt02.的方向，一般不同于A的方向。只有当t0时，A的极限方向，才是的方向。dtdAdtdA特别是,当A的大小不变而只是方向改变时,就时刻保持与A垂直。dtdA93.在直角坐标系中,考虑到是常量,有kji,,kAjAiAAzyxkdtdAjdtdAidtdAdtdAzyx由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函数，所以就是普通函数的微商。,dtdAx,dtdAydtdAz10运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。运动的描述是相对的。一.运动的绝对性和相对性§1-2参考系、质点11在研究机械运动时，选作参考的物体称为参考系。为了对物体的运动作定量描述，还需要在参考系中取定一个固定的坐标系。坐标系是参考系的代表和抽象。二.参考系坐标系常用的坐标系有直角坐标系、柱坐标系、球坐标系和自然坐标系。mtene三.理想模型质点在所研究的问题中，形状和大小可以忽略的物体质点。12§1-3位置矢量运动方程轨道方程一.位置矢量描述一个质点在空间位置的矢量i、j、k单位矢量。r=xi+yj+zk(1-1)图1-1oxyzP(x,y,z)xyzABCr位置矢量，简称位矢或矢径。BPABoAr由图1-1可知,从坐标原点o指向P点的有向线段op=r13位置矢量r的大小(即质点P到原点o的距离)为式中,,取小于180°的值。方向余弦:cos=x/r,cos=y/r,cos=z/r222zyxrrcos2+cos2+cos2=1图1-1oxyzP(x,y,z)xyzABCr14它们都叫做质点的运动方程三.轨道方程质点所经的空间各点联成的曲线的方程，称为轨道方程。运动方程例：x=6cos2ty=6sin2t消去时间t得：x2+y2=62这就是轨道方程。二.运动方程(1-4)(1-3))t(zz),t(yy),t(xx)t(rr15§1-4位移速度如图1-2所示,质点沿曲线C运动。时刻t在A点，时刻t+t在B点。(1)位移是位置矢量r在时间t内的增量:一.位移和路程从起点A到终点B的有向线段AB=r,称为质点在时间t内的位移。而A到B的路径长度S,称为路程。)()(trttrrAzyox图1-2BCSr(t)r(t+t)r16在x轴方向的位移为注意：坐标的增量x=x2-x1是位移，而不是路程!在直角坐标系中，若t1、t2时刻的位矢分别为r1和r2,则这段时间内的位移为k)zz(j)yy(i)xx(rrr12121212i)xx(r1217位移代表位置变化，是矢量，在图1-2中，是有向线段AB,它的大小是|r,即割线AB的长度。位移=AC=AB+BCAB只有当t→0时,才有|Δr|S。(2)位移和路程是两个不同的概念。rAzyox图1-2BCSr(t)r(t+t)BAC路程表示路径长度，是标量，它的大小是曲线弧AB的长度S。在一般情况下,S和并不相等。r18单位时间内的路程平均速率。定义:单位时间内的位移平均速度。二.速度、速率tStrrAzyox图1-2BCSr(t)r(t+t)19如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈，即使在直线运动中，如质点经时间t从A点到B点又折回C点,显然平均速度和平均速率也截然不同:而平均速率为tRtS2则平均速度为tBCABtAC0trBAC20(1-9)质点的(瞬时)速率:limt0tS=dtdS(1-12)dtdr质点的(瞬时)速度:trlimt0这表明,质点在t时刻的速度等于位置矢量r对时间的一阶导数;而速率等于路程S对时间的一阶导数。21=(1)速率=速度的大小。例:(A);dtdrlimt0tS=trlimt0(B);dtrd(C)dtdr)0(sr,t当limt0tS=dtdS(1-12)(1-9)dtdrtrlimt0(2)=r大小的导数+r方向的导数。dtrd22速度的大小：dtdz,dtdy,dtdxzyx(1-11)(3)在直角坐标系中,zkyjxir(1-10)kjirdtdzdtdydtdxdtd222zyx23为了描述速度随时间的变化情况，我们定义：质点的平均加速度则在时间t内质点速度的增量为§1-5加速度一.加速度如图1-3所示,设时刻t质点位于A点，速度为(t),经时间t运动到B点，速度为(t+t),)()(tttta图1-3Oxyz)(tA.)(ttB.24质点的(瞬时)加速度定义为(1)在直角坐标系中,加速度的表示式是limt0ta(1-17)22dtrddtd这就是说,质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度等于速度矢量对时间的一阶导数,或等于矢径r对时间的二阶导数。kjikjiadtzddtyddtxddtddtddtddtdzyx222222(1-19)25222222dtzddtda,dtyddtda,dtxddtdazzyyxx(1-20)(2)加速度a的大小:而加速度a在三个坐标轴上的分量分别为222zyxaaaaakjikjiadtzddtyddtxddtddtddtddtdzyx222222(1-19)26在曲线运动中,加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。在国际单位制中,加速度的单位为米/秒2(m·s-2)。adtd加速度a的方向是：当t→0时,速度增量的极限方向。应该注意到,的方向和它的极限方向一般不同于速度的方向,因而加速度a的方向与同一时刻速度的方向一般不相一致。aaa27例：;dtda)A(由前面的讨论我们得到了质点的位置矢量、速度和加速度在直角坐标系中的正交分解式。这些式子表明,任何一个曲线运动都可以分解为沿x,y,z三个方向的直线运动,每个方向上的运动是相互独立的,整个运动可看作是沿三个坐标轴方向的直线运动的叠加,这就是运动的叠加原理。;dtda)B(.dtda)D(;dtda)C(28以上内容的学习要点是：认真学习用微积分来处理物理问题的方法。r=xi+yj+zk求导积分dtdrdtda§1-6运动学的两类问题29例题1-1一质点沿x轴运动,运动方程为x=t3–9t2+15t+1(SI),求:(1)质点首先向哪个方向运动?哪些时刻质点调头了？(2)质点在0~2s内的位移和路程。可得：t=1,5s;又由于1,5s前后速度改变了方向(正负号），所以t=1,5s调头了。因t=0时速度=+15m/s,所以质点首先向x轴正方向运动。=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0调头的必要条件是速度为零，即解（1）质点做直线运动时，调头的条件是什么？dtdx30x=x(2)-x(0)=3-1=2m考虑到t=1s时调头了，故0~2s内的路程应为s=|x(1)-x(0)|+|x(2)-x(1)|=7+5=12m(2)质点在0~2s内的位移可表示为jtitr)12()23(22质点作什么样的运动？例题1-2质点的位置矢量：解x=3+2t2,y=2t2-1，y=x-4直线,jtitdtrd44jidtda44质点作匀加速直线运动。x=t3–9t2+15t+131解(1)由矢径的表达式可知,x=Rcost，y=Rsint从以上两式中消去t,得到粒子的轨道方程：x2+y2=R2这是一个以原点o为中心,半径为R的圆。例题1-3已知某一粒子在oxy平面内运动,其矢径为:r=Rcosti+Rsintj，其中R、为正值常量。(1)试分析该粒子的运动情况;(2)时间t=/2/内的位移和路程。由于t=0时,x=R,y=0,而t0+时,x0,y0,由此判定粒子是作逆时针方向的圆周运动。32Ra,Ryx222其大小为显然粒子的速度和加速度的大小均为常量。a的方向-r，即沿着半径指向圆心。综上所述可知，粒子作逆时针的匀速率圆周运动。粒子在任一时刻t的速度、加速度为jtcosRitsinRdtrdrjtsinRitcosR222dtdajtsinRitcosRr33(2)在时间t=/2/内的位移为注意到为角速度，在时间t=/2/内粒子刚好运动半个圆周，故路程:S=R。iR)(r)(rr22jtsinRitcosRr34例题1-4质点在xoy平面内运动，x=2t,y=19-2t2(SI);求：(1)质点在t=1s、t=2s时刻的位置,以及这1s内的位移和平均速度；(2)第1s末的速度和加速度；(3)轨道方程；(4)何时质点离原点最近?(5)第1s内的路程。平均速度：位移：当t=1s时，解(1)位矢：j)t(tir22192)m(jir1721当t=2s时，)m(jir1142(m)jirrr6212)s/m(jitr6235代入t=1s,得：加速度：(2)速度：j)t(itr22192jtidtrd42jdtda4)s/m(ji42)s/m(ja24)s/m(20(-4)222a=4(m/s2)36(3)轨道方程：22222)2t-(19(2t)yxr0dtdr由此方程可解得，t=0,3s(略去t=-3s);代入t=0,r=19(m);t=3s,r=6.08(m),可见t=3s时最近。r有极值的必要条件是：(4)何时质点离原点最近?x=2t,y=19-2t22192xy这是一条抛物线37(5)第1s内的路程:jtidtrd42dtds22)4(2t2)2(12t)2()2(12tdtds)2()2(1210tdts](2t)1ln(2t)2(1[2122t10=1.34m2o21atts38例题1-5在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的速率收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x时，船的速度和加速度。解对矢径未知的问题,须先建立坐标系,找出矢径,再求导。22hrx