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1【小学奥数培训资料一：整数问题】1、整数问题的概念网络想一想：（1）分解质因数有怎样的本质作用？（2）从质因数的角度来看，最大公因数是怎样构成的？（3）从质因数的角度来看，最小公倍数是怎样构成的？（4）两个数属于哪些情形时一定互质？22、整除的数字特征及应用（一、二）（一）知识与技能1、整除的数字特征：①能否被2、5整除——看末位；能被2整除的末位有5种情形：末位是0，2，4，6，8.能被5整除的末位有2种情形：末位是0，5.理由：对任意多位数Aa___=分拆a＋A0——，而A0——是一个整十数，必能被2、5整除，因此只要看末尾数a能否被2、5整除。推广：能否被4、25整除——看末两位；能否被8、125整除——看末三位；你能够仿照以上部分说明具体情形及相应理由吗？②能否被3、9整除——看码和——去“三”法/去“九”法；理由：对任意多位数abcd________=分拆（a＋b＋c＋d）＋(999a＋99b＋9c)=（a＋b＋c＋d）＋(111a＋11b＋c)×9，而(111a＋11b＋c)×9必能被3、9整除，因此只要看码和（a＋b＋c＋d）能否被3、9整除。③能否被7、11、13整除——看末三位与前数之差；理由：对任意多位数abcd________=分拆（bcd_______－a）＋1001a,而1001=7×11×13,必能被7、11、13整除，因此只要看末三位与前数之差（bcd_______－a）能否被7、11、13整除。④能否被11整除的另一手段——看奇偶码差；理由：对任意多位数abcd________=分拆[（d＋b）－（c＋a）]＋(1001a＋99b＋11c)而(1001a＋99b＋11c)必能被11整除，因此只要看奇偶码差[（d＋b）－（c＋a）]能否被11整除。2、应用及技能：①直接应用：判别；分析推算。注意思考问题的有序性和完备性；并能够拓展到用字母表示数的应用领域；②综合分拆应用：分析推算；解决问题。先分拆，坚持直接、简易的原则；后推算，坚持从大到小、从简到难的原则。特别注意：在解决问题的过程中，一定要先将条件研究透彻！（二）例题例1、在□内分别填上合适的数字，分别可以组成哪一些符合条件的数？（1）4的倍数：307□，9□4，7985□0；（2）9的倍数：78□9，□459，□37□98；（3）11的倍数：175□，4□5□，□8985；3例2、将1，2，3，4，……，30从左至右依次排成一个多位数123456……282930，这个多位数除以11所得的余数是多少？例3、已知11∣1a2a3a4a5a_______________________,那么a=？例4、有一个六位数能被11整除，它的首位是7，其余各位数字各不相同。这样的六位数中最小的一个是多少？例5、已知11∣20092009……2009共n个20095，那么n最小是几？例6、已知72∣五位数X931Y___________，求所有满足条件的五位数X931Y___________。例7、中队辅导员买来28枝价格相同的钢笔准备用来奖励进步了的学生，一共付款9□.2□元。已知□内为同一数字，求钢笔的单价。例8、已知15∣整数A，而且数A的各个数位上的数字只有0，8两种，那么A最小是多少？例9、商店一共有6箱货物，分别重15，16，18，19，20，31㎏，两位顾客买走其中五箱，且其中一位所买重量是另一位的2倍。那么剩下的是哪一箱？4（三）习题1、在□内分别填上合适的数字，分别可以组成哪一些符合条件的数？（1）4的倍数：405□，9□8，8985□6；（2）9的倍数：78□3，□453，□98□73；（3）11的倍数：465□，5□7□，□9789；2、已知45∣五位数X931Y___________，求所有满足条件的五位数X931Y___________。3、有一个六位数能被60整除，且它的前三位分别是8、6、5。这样的六位数中最小的一个是多少？4、已知45∣整数A，而且数A的各个数位上的数字只有0，3两种，那么A最小是多少？5、有一个六位数能被11整除，它的首位是2，其余各位数字各不相同。这样的六位数中最大的一个是多少？6、已知11∣20092009……2009共n个200908，那么n最小是几？7、将100个小朋友从左往右排成一排并依次编成1～100号。然后从左往右“一、二”报数，报“一”的退下；再从左往右“一、二”报数，报“一”的退下；……；这样循环到剩下最后一个人为止。那么最后留下的这个小朋友是多少号？如果是200个小朋友呢？53、质数、合数与分解质因数（一、二、三）（一）知识与技能1、质数、合数的概念及其本质特征：①质数：只有1和它本身两个因数的数——从整除的角度，不能进一步地进行分拆；因此常被看成构成整数的最小“零部件”。合数：除了1和它本身还有别的因数的数——从整除的角度，还能进一步地进行分拆；因此常被看成整数中的“综合型大机器”。②判别一个数A是否是质数得到方法：用试除的方法，从小到大依次用质数2、3、5、7、……试除，一直到质数n满足n2〉A且还不能整除为止。想一想：这是为什么？你还能说出质数的哪一些特性？2、分解质因数的概念及其本质作用：①分解质因数：将任意一个合数分解为若干个质数相乘的形式。②分解质因数常根据整除的数字特征从大入手逐级分解，直至分解彻底。一般借用乘方的写法按质因数从小到大依次排列。如：55440=11×10×9×56=24×32×5×7×11③对于任意一个合数，将其分解质因数以后即可发现，其所有的约数不仅可以用试除的方法一对一对地找出来，还可以依次用0个～全部质因数一一组合而成。如：54=2×33用试除方法找54的约数有：1和54，2和27，3和18，6和9；用质因数组合找54的约数有：1（用0个），2和3（用1个），4和9（用2个），18和27（用3个），54（用4个即用全部）。根据分步搭配相乘的乘法原理有如下结论：对于合数A=ax×by×cz×……,那么A的约数个数为（x＋1）×（y＋1）×（z＋1）×……而且A的所有约数和为（1＋a＋a2＋…＋ax）×（1＋b＋b2＋…＋by）×（1＋c＋c2＋…＋cz）×……你能快速说出55440一共有多少个约数吗？④分解质因数能够看出任意一个合数的本质构成，从而便于进一步的进行特质分析、条件构造和重新组合推断。3、应用技能：能够运用分解、估计、有序推理（从大入手）等手段结合质因数的分解来解决数的构造推断、重新组合等实际问题。（二）例题例1、将以下各数分解质因数（口头分解后直接写出结果），然后说一说它们各有多少个约数？①240②42560③11112222例2、①已知三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。②已知五个连续自然数的乘积是55440，求这五个数的平均数。6例3、已知下列连等算式中□内数字正好由1～9组成，试在□中填上适当数字。□□×□□=□□×□□□=3634例4、自然数360一共有多少个约数？它的全部约数之和是多少？例5、将下面8个自然数平均分成两组，使这两组数各自的乘积相等。14，33，35，30，75，39，143，169.例6、小明的姐姐参加了今年的中学数学竞赛，赛后小明问姐姐：“这次竞赛你得了多少分？获得了第几名？”姐姐告诉他：“我得的名次和我的岁数以及我的得分乘起来是2910，你看我的得分和名次各是多少？”你能够帮助推算出来吗？例7、正好是8个约数的自然数中，最小的一个是多少？例8、一个整数A与1080的乘积正好等于另一个不为0的整数的平方。求A的最小值是多少？例9、有一个自然数，它有3个不同的质因数，共有16个约数，而且其中一个质因数是数字和为11的尽可能大的两位数。那么这样的自然数最小一个是多少？※例10、一个自然数能够分解为3个质因数之积，而且这三个质因数的平方和为1710。求这个自然数。例11、分别多年的两位老友相遇于一路碑前，其中一人说：“我有3个孩子，年龄之积为36，年龄之和为路碑上里程数。”另一人看了里程数后说：“我还是不能确定他们的年龄。”于是第一人又补充说：“我两个小一点的孩子是双胞胎。”第二人立刻说出了3个孩子的年龄。你能说出来吗？7（三）习题1、将以下各数分解质因数（口头分解后直接写出结果），然后说一说它们各有多少个约数？①280②104055③216722、从360到630之间共有多少个数的约数为奇数个？3、已知A=25×33×52×7，那么A的所有约数中最大的两位数是多少？4、自然数280一共有多少个约数？它的全部约数之和是多少？5、有10个数：21，22，34，39，44，45，65，76，133，153。将它们平均分成两组，并使得每组的5个数乘积相等。6、有9个数：20，26，33，35，39，42，44，55，91。将他们分成三组，使得每组数的乘积相等。7、有4个连续奇数的乘积是326025，那么这4个数的和是多少？8、如右图，竖式中四个□内的数字和是多少？□□×□□176789、边长是整数厘米且面积为105平方厘米的形状不同的长方形一共有多少种？10、河岸边有867名学生准备乘船过河。来了一批小船，每条小船载人人数相等。同学们分3次过河。求一共有多少条小船？11、有3个自然数，其中最大数比最小数多6，而另一个是它们的平均数，且这3个数的乘积为42560。求这3个数。12、自然数675一共有多少个约数？它的全部约数之和是多少？13、正好是12个约数的自然数中，最小的一个是多少？14、张爷爷今年84岁，他告诉人家：“我有3个孙子，他们的年龄之积正好是我的岁数这么大，而且这3个孙子中，有两个孙子的年龄之和正好是另一个孙子的年龄。”你知道他的3个孙子各是几岁吗？15、已知自然数对于a、b、c有:ab=132，bc=156，ca=143。那么a＋b＋c=？16、求小于1000而且正好只有15个约数的最大自然数是多少？94、最大公约数与最小公倍数（一、二、三）（一）知识与技能1、最大公约数、最小公倍数的概念。①最大公约数：几个数公有的约数中最大的一个称为它们的最大公约数。如A、B的最大公约数记为（A，B）。②最小公倍数：几个数公有的倍数中最小的一个称为它们的最小公倍数。如A、B的最小公倍数记为[A，B]。其概念运用主要体现在解决实际问题时理解条件的环节中。2、最大公约数、最小公倍数的构成本质及求法：①从质因数角度看它们的构成本质。（1）几个数的最大公约数——由它们全部公有的质因数相乘组成。因此在基础数学课本中这样用短除法求几个数的最大公约数：每次用这几个数公有的质因数去除，除到不再有公有的质因数为止，其目的是在于找出这些数所有公有的质因数；然后将所有除数连乘即得它们的最大公约数。（2）几个数的最小公倍数——由每一个数所有的质因数剔除重复之后相乘组成。因此在基础数学课本中这样用短除法求几个数的最小公倍数：先每次用这几个数公有的质因数去除；然后每次用这几个数中某几个公有的质因数去除，除到两两互质为止，其目的都是在于剔除重复的质因数（重复一次或几次都只以除数算一次）；然后将所有除数和商连乘即得它们的最小公倍数。特别地：对于任意两个数A、B，有A×B=（A，B）×[A，B]。②求法：（1）对于较小的几个数——用小数依次分拆法求它们的最大公约数、用大数依次扩倍法求它们的最小公倍数。（2）对于较大的几个数——用辗转相除法求它们的最大公约数。辗转相除法：其本质就是逐次用差替换掉其中的大数。（二）例题例1、直接写出得数：（27，36）=；（54，72）=；（50，15，75）=；[27，36]=；[54，72]=；[50，15，75]=；例2、已知：A=2×32×53，B=22×3×53×7，C=2×5×72那么（A，B,C）=？[A，B,C]=？例3、有3根铁丝，分别长120㎝、180㎝和300㎝，现在要将它们截成长度为整数厘米且相等的小段并要求每段尽可能长。那么一共可以截成多少小段？例4、有一批奖金分给甲、乙两个小组，平均每人可得60元；如果只分给甲组，则平均每人可得100元。那么如果只分给乙组，平均每人可得多少元？1