2018高三一模难题解析

2018年上海市高三一模数学考试客观题难题解析2017.12一.宝山区11.给出函数2()gxxbx，2()4hxmxx，这里,,bmxR，若不等式()10gxb（xR）恒成立，()4hx为奇函数，且函数()()()()()gxxtfxhxxt恰有两个零点，则实数t的取值范围为【解析】根据题意，210xbxb恒成立，∴24(1)0bb，即2b.2mxx为奇函数，∴0m，即22,()4,xxxtfxxxt.分零点讨论，如图所示，当(,2)t，1个零点；当[2,0)t，2个零点；当[0,4)t，3个零点，当[4,)t，2个零点.综上，t的取值范围为[2,0)[4,).12.若n（3n，*nN）个不同的点111(,)Qab、222(,)Qab、、(,)nnnQab满足：12naaa，则称点1Q、2Q、、nQ按横序排列，设四个实数k、1x、2x、3x使得312()kxx，23x，222x成等差数列，且两函数2yx、13yx图像的所有交点111(,)Pxy、222(,)Pxy、333(,)Pxy按横序排列，则实数k的值为【解析】根据题意，312()kxx，23x，222x成等差数列，∴223231xxkxx，1x、2x、3x为方程3310xx的三个解，且123xxx.解法一：3313104()3()222xxxx，∵3cos34cos3cos，设cos2x，即1cos32，360360n，20120n，nZ.∵cos140cos260cos20，∴12cos140x，22cos260x，32cos20x，222232314cos204cos802cos202cos40xxkxx22(2cos201)(2cos801)cos40cos160cos40cos201cos20cos40cos20cos40cos20cos40，即1k.解法二：结合图像可知，123xxx，213yyy，两函数2yx、13yx消去y可得方程3310xx（解分别为123xxx），消去x得方程326910yyy（解分别为213yyy），设3()31fxxx，32()691gyyyy3(2)3(2)1yy，根据平移性质可知，函数()gy图像可由()fx图像按向量(2,2)平移得到，且()fx对称中心为(0,1)，∴()gy的对称中心为(2,1)，∴()fx与()gy的图像关于(1,0)对称，如图所示，即ABCD，∴3132xxyy，∴22323231311xxyykxxxx解法三：利用计算器，求解三次方程3310xx，求出1x、2x、3x，代入求出1k.16.称项数相同的两个有穷数列对应项乘积之和为这两个数列的内积，设：数列甲：1x、2x、3x、4x、5x为递增数列，且ix*N（1,2,,5i）；数列乙：1y、2y、3y、4y、5y满足{1,1}iy（1,2,,5i）则在甲、乙的所有内积中（）A.当且仅当11x，23x，35x，47x，59x时，存在16个不同的整数，它们同为奇数B.当且仅当12x，24x，36x，48x，510x时，存在16个不同的整数，它们同为偶数C.不存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数D.存在16个不同的整数，要么同为奇数，要么同为偶数【解析】取特例，数列甲：1、2、3、4、5，此时内积可能为15、13、11、……、11、13、15，16个数均为奇数，排除A、C选项；再取特例，数列甲：1、2、3、4、6，可以排除B选项，所以选D.二.徐汇区11.若不等式1(1)(1)31nnan对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是【解析】当n为奇数，不等式为131an，即131an对一切奇数恒成立，∵1331n，∴3a；当n为偶数，不等式为131an，对一切偶数恒成立，∵1133121n，∴83a；综上所述，a的取值范围是8[3,)3.12.已知函数()yfx与()ygx的图像关于y轴对称，当函数()yfx与()ygx在区间[,]ab上同时递增或同时递减时，把区间[,]ab叫做函数()yfx的“不动区间”，若区间[1,2]为函数|2|xyt的“不动区间”，则实数t的取值范围是【解析】结合图像，|2|xyt的零点2logxt应满足2log[1,1]t，解得1[,2]2t.16.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD，E为1CC的中点，点P、Q分别为面1111ABCD和线段1BC上动点，求PEQ周长的最小值（）A.22B.10C.11D.12【解析】作11PGBC，取BC的中点F，∴QEQF，作E关于11BC的对称点H，∴GHGE，∴PQQE10PEGQQFGEGQQFGHFH所以选B.三.普陀区11.已知正三角形ABC的边长为3，点M是ABC所在平面内的任一动点，若||1MA，则||MAMBMC的取值范围为【解析】根据题意，作出示意图||||MAMBMCMAMAABMAAC|3||3|MAABACMAAD，||1MA，||3AD当MA与AD反向时，有最小值0，当MA与AD同向时，有最大值6，所以||MAMBMC的取值范围为[0,6].12.双曲线2213xy绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数()fx的图像，关于此函数()fx有如下四个命题：①()fx是奇函数；②()fx的图像过点33(,)22或33(,)22；③()fx的值域是33(,][,)22；④函数()yfxx有两个零点；则其中所有真命题的序号为【解析】作出双曲线图像，旋转适当角度，使得其中一条渐近线垂直于x轴，如图中红色实线或红色虚线所示，结合图像，可知①②正确.16.定义在R上的函数()fx满足2201()4210xxxfxx，且(1)(1)fxfx，则函数35()()2xgxfxx在区间[1,5]上的所有零点之和为（）A.4B.5C.7D.8【解析】作出()fx图像如图所示，周期为2，设351()322xhxxx，即求()fx与()hx交点横坐标之和.结合图像可知，共有3个交点，其中两个交点关于(2,3)点对称，另一个交点的横坐标为1，所以交点的横坐标之和为2215，即所有零点之和为5四.长宁区/嘉定区11.已知数列{}na的前n项和为nS，且11a，12nnnSaa（*nN），若121(1)nnnnnbaa，则数列{}nb的前n项和nT【解析】11a，112222Saaa，1111122()22nnnnnnnnSSaaaaaa，∴奇数项1、3、5、…、成等差数列，偶数项2、4、6、…、成等差数列，综上nan，2111(1)(1)()(1)1nnnnbnnnn，∴1112b，21123b，31134b，……，11(1)(1)1nnnbnn，消项求和，11(1)1nnTn.12.若不等式222()xycxyx对满足0xy的任意实数x、y恒成立，则实数c的最大值为【解析】典型恒成立问题，∵()0xyx，∴参变分离得222212()21yxyxcyxyxx，(0,1)ytx，即求212()1tftt的最小值，22122(1)4(1)1()11tttfttt12(1)42241tt，当且仅当212t时等号成立，∴c的最大值为224.15.对任意两个非零的平面向量和，定义||cos||，其中为和的夹角，若两个非零的平面向量a和b满足：①||||ab；②a和b的夹角(0,)4；③ab和ba的值都在集合{|,}2nxxnN中，则ab的值为（）A.52B.32C.1D.12【解析】根据题意，||1||ba，2cos(,1)2，∴||cos1||bbaa，∵ba的值在集合{|,}2nxxnN中，∴||1cos2||bbaa，∴||2cos(2,2)||ab，∴ab2||cos2cos(1,2)||ab，∵ab的值在集合{|,}2nxxnN中，∴32ab.选B.16.已知函数1202()12212xxfxxx，且1()()fxfx，1()(())nnfxffx，1,2,3,n，则满足方程()nfxx的根的个数为（）A.2n个B.22n个C.2n个D.2(21)n个【解析】画出1()fx、2()fx、3()fx的图像，如图所示，由图可知，1()fxx有2个根，2()fxx有22个根，3()fxx有32个根，…，归纳可得，()nfxx有2n个根.五.金山区10.向量i、j是平面直角坐标系x轴、y轴的基本单位向量，且|||2|5aiaj，则|2|ai的取值范围为【解析】本题与2016年虹口一模17题几乎一样，根据题意，(1,0)i，(0,1)j，设(,)axy，根据|||2|5aiaj的几何意义，(,)xy轨迹是一条线段（图中AB），|2|ai的几何意义为(,)xy到点(2,0)的距离，由图可知，距离最短为655CD，最长为3AD，范围为65[,3]511.某地区原有森林木材存有量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要，每年年末要砍伐的木材量为110a，设na为第n年末后该地区森林木材存量，则na【解析】根据题意，15410nnaaa，待定系数，15()4nnaa，可得25a，∴2{}5naa是首项为23232054aaa，公比为54的等比数列，∴1235()544nnaaa35()54na，即352()545nnaaa.本题要注意1aa，152341020aaaa.12.关于函数||()|||1|xfxx，给出以下四个命题：①当0x时，()yfx单调递减且没有最值；②方程()fxkxb（0k）一定有实数解；③如果方程()fxm（m为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④()yfx是偶函数且有最小值；其中假命题的序号是【解析】根据图像可得，①在(0,1)单调递增，错误；②正确；③()0fx只有一个解，错误；④为偶函数，最小值为0，正确；∴假命题是①③.16.给出下列四个命题：（1）函数arccosyx（11x）的反函数为cosyx（xR）；（2）函数21mmyx（mN）为奇函数；（3）参数方程2221121txttyt（tR）所表示的曲线是圆；（4）函数221()sin()32xfxx，当2017x时，1()2fx恒成立；其中真命题的个数为（）A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】①cosyx定义域为R，arccosyx的值域不为R，不能互为反函数，错误；②∵mN，∴(1)mm为偶数，∴21mm为奇数，∴21mmyx为奇函数，正确；③消参可得方程为221xy，1x，不是一个完整的圆，错误；④1()2fx恒成立，即22sin()3xx在(2017,)上恒成立，因为2sin[0,1]x且有周期性，2()(0,)3x，结合图像性质可知，不能恒成立，错误.正确的只有②，所以选