612011年天津高考数学试题及答案(理科)

2011年高考理科数学试题及答案（天津卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：如果事件A，B互斥，那么如果事件A，B相互独立，那么()()()PABPAPB()()().PABPAPB棱柱的体积公式.VSh圆锥的体积公式1.3VSh其中S表示棱柱的底面面积其中S表示圆锥的底面面积h表示棱柱的高h表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．i是虚数单位，复数131ii=A．2iB．2iC．12iD．12i2．设,,xyR则“2x且2y”是“224xy”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为A．3B．4C．5D．64．已知na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为na的前n项和，*nN，则10S的值为A．-110B．-90C．90D．1105．在622xx的二项展开式中，2x的系数为A．154B．154C．38D．386．如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且,23,2ABCDABBDBCBD，则sinC的值为A．33B．36C．63D．667．已知324log0.3log3.4log3.615,5,,5abc则A．abcB．bacC．acbD．cab8．对实数a和b，定义运算“”：,1,,1.aababbab设函数22()2,.fxxxxxR若函数()yfxc的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是A．3,21,2B．3,21,4C．111,,44D．311,,44第II卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积为__________3m11．已知抛物线C的参数方程为28,8.xtyt（t为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆2224(0)xyrr相切，则r=________.12．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且2,::4:2:1.DFCFAFFBBE若CE与圆相切，则线段CE的长为__________.13．已知集合1|349,|46,(0,)AxRxxBxRxttt，则集合AB=________.14．已知直角梯形ABCD中，AD//BC,090ADC,2,1ADBC,P是腰DC上的动点，则3PAPB的最小值为____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数()tan(2),4fxx（Ⅰ）求()fx的定义域与最小正周期；（II）设0,4，若()2cos2,2f求的大小．16．（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()EX.17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABCABC中，H是正方形11AABB的中心，122AA，1CH平面11AABB，且15.CH（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111AACB的正弦值；（Ⅲ）设N为棱11BC的中点，点M在平面11AABB内，且MN平面11ABC，求线段BM的长．18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点(,)Pab(0)ab为动点，12,FF分别为椭圆22221xyab的左右焦点．已知△12FPF为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线2PF与椭圆相交于,AB两点，M是直线2PF上的点，满足2AMBM，求点M的轨迹方程．19．（本小题满分14分）已知0a，函数2()ln,0.fxxaxx（()fx的图像连续不断）（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）当18a时，证明：存在0(2,)x，使03()()2fxf；（Ⅲ）若存在均属于区间1,3的,，且1，使()()ff，证明ln3ln2ln253a．20．（本小题满分14分）已知数列{}na与{}nb满足：1123(1)0,2nnnnnnnbaabab，*nN，且122,4aa．（Ⅰ）求345,,aaa的值；（Ⅱ）设*2121,nnncaanN，证明：nc是等比数列；（III）设*242,,kkSaaakN证明：4*17()6nkkkSnNa．参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分.BABDCDCB二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分.9．1210．611．212．7213．{|25}xx14．5三、解答题15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分.（I）解：由2,42xkkZ，得,82kxkZ.所以()fx的定义域为{|,}82kxRxkZ()fx的最小正周期为.2（II）解：由()2cos2,2afa得tan()2cos2,4aa22sin()42(cossin),cos()4aaaa整理得sincos2(cossin)(cossin).cossinaaaaaaaa因为(0,)4a，所以sincos0.aa因此211(cossin),sin2.22aaa即由(0,)4a，得2(0,)2a.所以2,.612aa即16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件(0,1,2,3),iAi则2132322531().5CCPACC（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则23BAA，又22111322222222253531(),2CCCCCPACCCC且A2，A3互斥，所以23117()()().2510PBPAPA（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.212279(0)(1),101007721(1)(1),101050749(2)().10100PXPXCPX所以X的分布列是X012P9100215049100X的数学期望921497()012.100501005EX17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.依题意得(22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)ABC111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)ABC（I）解：易得11(2,2,5),(22,0,0)ACAB，于是11111142cos,,3||||322ACABACABACAB所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为2.3（II）解：易知111(0,22,0),(2,2,5).AAAC设平面AA1C1的法向量(,,)mxyz，则11100mACmAA即2250,220.xyzy不妨令5,x可得(5,0,2)m，同样地，设平面A1B1C1的法向量(,,)nxyz，则11110,0.nACnAB即2250,220.xyzx不妨令5y，可得(0,5,2).n于是22cos,,||||777mnmnmn从而35sin,.7mn所以二面角A—A1C1—B的正弦值为35.7（III）解：由N为棱B1C1的中点，得2325(,,).222N设M（a，b，0），则2325(,,)222MNab由MN平面A1B1C1，得11110,0.MNABMNAC即2()(22)0,22325()(2)()(2)50.222aab解得2,22.4ab故22(,,0).24M因此22(,,0)24BM，所以线段BM的长为10||.4BM方法二：（I）解：由于AC//A1C1，故111CAB是异面直线AC与A1B1所成的角.因为1CH平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，1122,5,AACH可得11113.ACBC因此22211111111111112cos.23ACABBCCABACAB所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为2.3（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以11ACA≌11BCA，过点A作11ARAC于点R，连接B1R，于是111BRAC，故1ARB为二面角A—A1C1—B1的平面角.在11RtARB中，2111112214sin221().33BRABRAB连接AB1，在1ARB中，2221111114,,cos2ARBRABABARBRARBARBR27，从而135sin.7ARB所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为35.7（III）解：因为MN平面A1B1C1，所以11.MNAB取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，所以ND//C1H且11522NDCH.又1CH平面AA1B1B，所以ND平面AA1B1B，故11.NDAB又,MNNDN所以11AB平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，则111,//.MEABMEAA故由1111111,4BEBDDEAABABA得122DEBE，延长EM交AB于点F，可得12.2BFBE连接NE.在RtENM中，2,.NDMENDDEDM故所以252.4NDDMDE可得2.4FM连接BM，在RtBFM中，2210.4BMFMBF18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.（I）解：设12(,0),(,0)(0)FcFcc由题意，可得212||||,PFFF即22()2