二阶常系数齐次线性微分方程

第五节二阶常系数齐次线性微分方程这是一类有专门的求解方法微分方程定义形如ypyqyf(x)的方程称为二阶常系数线性微分方程其中p,q是常数,f(x)称为自由项.特别地,当f(x)=0时,ypyqy0称为二阶常系数线性齐次微分方程否则称为线性非齐次微分方程.11()[]PxCy11()[]QxCy0证毕12(),()yxyx若函数是方程()()0yPxyQxy的两个解,也是该方程证:1122()()yCyxCyx将代入方程左边,得11[]Cy22Cy22Cy22Cy1111[()()]CyPxyQxy2222[()()]CyPxyQxy1122()()yCyxCyx则定理.(叠加原理)的解.定理表明,二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x),y2(x)的线性组合)()(2211xyCxyC)()(2211xyCxyCy那么,是不是方程的通解呢？仍是方程的解.例.对于二阶常系数线性齐次微分方程,02yy'y''容易验证:xxxyxye2)(,e)(21)()(2211xyCxyCy也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C,显然它不是所给方程的通解.由定理知都是它的解.xxeCeC212xeCC)2(21xCe问题:方程的两个特解y1(x),y2(x)满足什么条件时,的通解？由例7-12的分析可知,如果方程的两个特解y1(x),y2(x)之间不是常数倍的关系,那么它们线性组合得到的解就必定是方程的通解.),()()(212211为任意常数CCxyCxyCy)()(2211xyCxyCy才是方程定义设y1(x)与y2(x)是定义在某区间内的两个函数,如果存在不为零的常数k(或存在不全为零的常数k1,k2),使得对于该区间内的一切x,有)0)()(()()(221112xykxykkxyxy或成立,则称函数y1(x)与y2(x)在该区间内线性相关,否则称y1(x)与y2(x)线性无关.思考:中有一个恒为0,则必线性相关定理.(二阶齐次线性方程通解的结构)是二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解,则1122()()yCyxCyx数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为2tanyx1y将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0分析考虑到当y,y,y为同类函数时有可能使ypyqy恒等于零而函数erx具有这种性质所以猜想erx是方程的解二阶齐次线性方程通解的求法由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解2422,1qpprr2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.特征方程的求根公式为(1)当240pq时,方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为1212rxrxyCeCe设r1,r2是特征方程的两个根.(2)当240pq时,特征方程有两相等实根则微分方程有一个特解设另一特解为,(u(x)待定).1[rxe1()puru0qu211(2)ururu是特征方程的重根0u取u=x,得12,rxyxe因此原方程的通解为112()rxyCCxe2111(2)()0urpurprqu得:代入原微分方程0qyypy(3)当240pq时,方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:()1ixye(cossin)xexix()2ixye(cossin)xexix利用解的叠加原理,得原方程线性无关特解:12112()yyy12212()iyyycosxexsinxex因此原方程的通解为12(cossin)xyeCxCx1212rxrxyCeCe实根112()rxyCCxe12(cossin)xyeCxCx特征根通解(1)写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0(2)求出特征方程的两个根r1,r2求y+py+qy=0的通解的步骤:(3)根据特征方程根的不同情况,写出微分方程的通解.因此微分方程的通解为yC1exC2e3x例1求微分方程y2y3y0的通解解:微分方程的特征方程为r22r30特征方程有两个不等的实根r11r23即(r1)(r3)0例2求解初值问题22dd20ddssstt04,tsd2d0stt解:特征方程2210rr,特征根为121,rr因此原方程的通解为12()tsCCte由初始条件得14,C于是所求初值问题的解为22C例3求微分方程250yyy解：所给方程的特征方程为2250rr其根为1,212ri,故所求通解为12(cos2sin2)xyeCxCx的通解.习题6-5(p358)全部做于书上,1(5),2(5)交作业.