最新高中数学解三角形实际应用题(详解)

1.如图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC外的地方种草，ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余地方种花.若BC=a,ABC=,设ABC的面积为1S，正方形PQRS的面积为2S，将比值21SS称为“规划合理度”.（1）试用a,表示1S和2S.（2）当a为定值，变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角的大小.解：（1）、如图，在ＡＢＣ中，＝设正方形的边长为则＝…………………………………………………7分（2）、而＝∵0,又0２,０１为减函数当时取得最小值为此时2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得103,AC=10,,,ACOCOCACAC故且对于线段上任意点P有OPOC，而小艇的最ABCPQRSA'CNMAB高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设COD=(090),103tanRtCODCD则在中，，OD=103cos，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为10103tan30t和103costv，所以10103tan30103cosv，解得1533,30,sin(+30)sin(+30)2vv又故，从而3090,30tan由于时，取得最小值，且最小值为33，于是当30时，10103tan30t取得最小值，且最小值为23。此时，在OAB中，20OAOBAB，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。3..如图，直角三角形ABC中，∠B＝90，AB＝1，BC＝3．点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△AMN，使顶点A落在边BC上(A点和B点不重合).设∠AMN＝．(1)用表示线段AM的长度，并写出的取值范围；(2)求线段AN长度的最小值．解：（1）设MAMAx，则1MBx．（2分）在Rt△MBA中，1cos(1802)xx，（4分）∴2111cos22sinMAx．（5分）∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A点和B点不重合，∴4590．（7分）（2）在△AMN中，∠ANM＝120,（8分）sinsin(120)ANMA,（9分）21sin2sinsin(120)AN＝12sinsin(120)．（10分）令132sinsin(120)2sin(sincos)22t＝2sin3sincos＝1311sin2cos2sin(230)2222．（13分）∵4590，∴60230150．（14分）当且仅当23090，60时，t有最大值32，（15分）∴60时，AN有最小值23．（16分）4.如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离43BCkm。D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD=x（km），点D对跑道AB的视角为。（1）将tan表示为x的函数；（2）求点D的位置，使取得最大值.5.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为075，030，于水面C处测得B点和D点的仰角均为060，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，21.414，62.449）解:在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，……5分在△ABC中，,ABCsinCBCAsinAAB即AB=,2062315sinACsin60因此，BD=。km33.020623故B，D的距离约为0.33km。6.（2009福建卷理）（本小题满分13分）如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y=Asinx(A0,0)x[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定MNP=120o（I）求A,的值和M，P两点间的距离；（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？解法一（Ⅰ）依题意，有23A，34T，又2T，6。23sin6yx当4x时，223sin33y(4,3)M又)0,8(P22435MP（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=，则0°60°由正弦定理得00sinsin120sin(60)MPNPMN103sin3NP,0103sin(60)3MN故010310310313sinsin(60)(sincos)33323NPMN0103sin(60)30°60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得222cosMNNPMNNP∠MNP=2MP即2225MNNPMNNP故22()25()2MNNPMNNPMNNP从而23()254MNNP，即1033MNNP当且仅当MNNP时，折线段道MNP最长注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①123943(26N，）；②123943(26N，）；③点N在线段MP的垂直平分线上等7.如图，在平面四边形ABCD中，已知1ADAB，BAD，且△BCD为正三角形.（Ⅰ）将四边形ABCD的面积S表示为的函数；（Ⅱ）求S得最大值及此时的值.命题意图：强化一下三角在解三角形中的应用。思考与建议：07年海南、宁夏题中就是考查的三角在实际问题中的应用，同为新课表地区的广东，三角题今年是否会突破以前的传统，变成了一个应用题？解：（Ⅰ）△ABD的面积11111sinsin22S，正△BCD的面积2221333(11211cos)(1cos)442SBD∴四边形ABCD的面积为121333sincossin()22223SSS(0).（Ⅱ）由3sin()(0)23S，当32，即56时，四边形ABCD的面积S最大，且最大值为312.8.如图，AB是沿湖南北方向道路,P为太中观光岛屿,Q为停车场，5.2PQkm．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q,已知游船以DCBAQPMBA13km/h的速度沿方位角q的方向行驶，5sin13q．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是a，出租汽车的速度为66km/h．(Ⅰ)设4sin5a，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；(Ⅱ)设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角a，当角a余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q．解：(Ⅰ)如图，作PNAB,N为垂足．,PQMPMQqpa,5sin13q，4sin5a，在Rt△PNQ中，sinPNPQq55.2213(km),cosQNPQq=125.24.813(km)．在Rt△PNM中，21.54tan3PNMNa(km)．设游船从P到Q所用时间为1th，游客甲从P经M到Q所用时间为2th，小船的速度为1vkm/h，则1262513135PQt(h),21112.53.3516666220PMMQtvvv（h）．由已知得：21120tt，15112220205v，∴1253v．∴小船的速度为253km/h时，游客甲才能和游船同时到达Q．(Ⅱ)在Rt△PMN中，2sinsinPNPMaa(km),2costansinPNMNaaa(km)．∴2cos4.8sinQMQNMNaa(km)．∴14cos10665sin5533sinPMQMtaaa＝1335cos4165sin55aa．∵22215sin(335cos)cos533cos165sin165sintaaaaaa,NQPMBA∴令0t得：5cos33a．当5cos33a时，0t；当5cos33a时，0t．∵cosa在(0,)2paÎ上是减函数，∴当方位角a满足5cos33a时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q．9.如图，AC是佛山市一环东线的一段，其中A、B、C分别是林上路、佛陈路、花卉大道出口，经测量陈村花卉世界D位于点A的北偏东30方向km8处，位于点B的正北方向，位于点C的北偏西75方向上，并且kmAB5．(Ⅰ)求佛陈路出口B与花卉世界D之间的距离；（精确到0.1km）(Ⅱ)求花卉大道出口C与花卉世界D之间的距离．（精确到0.1km）(参考数据：73.13，97.075sin，26.075cos，80.053sin，60.053cos，62.038sin，79.038cos)解：（Ⅰ）设xBD，则由余弦定理2225816cos30xx，即039382xx，解得334x，8334舍去．所以9.3334x.故佛陈路出口B与花卉世界D之间的距离约为3.9km．（Ⅱ）在ABD中，由正弦定理得ADBABABDADsinsin，所以54sinsinCBDABD.在CBD中，sinsin()0.79DCBCBDBDC，由正弦定理得，43.95sinBDCDDCB.花卉大道出口C与花卉世界D之间的距离约为3.9km．10.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+(其中sin=2626，090)且与点A相距1013海里的位置C.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解（I）如图，AB=402，AC=1013，26,sin.26BAC由于090,所以cos=2265261().2626由余弦定理得BC=.510cos222ACABACAB所以船的行驶速度为10515523（海里/小时）.…（6分）（2）解法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分