三角函数逼近快速算法(正余弦)

三角函数逼近快速算法(正余弦)原文出自：里面提到了查表，采用查表并配合插值；以及泰勒级数看过第一篇的文章后，大呼过瘾！原文作者的思路非常简捷，有趣，偶英语比较差，欢迎指正，废话不多说看文章原文出处：=5784在某些情况下我们需要一些更高效的且近似于标准值的sin和cos函数。有时候我们并需要过高的精度，这时C语言中自带的三角函数（sinf()和cosf()f）计算的精度超出了我们所需要的精度要求，所以其效率很低。我们真正需要的是间于精度和效率的一个折中的方案。众所周知的取近似值的方法是：泰勒级数（和著名的马克劳林级数）代码是：x-1/6x^3+1/120x^5-1/5040x^7+...我们绘制了下图:绿线是标准的sin函数，红线是4项泰勒级数展开式。这个近似值的效果看起来还不错，但是如果你仔细观察后会发现它在pi/2之前的效果还是很好的，但是超过了pi/2后就开始快速偏离标准sin。它在pi处的值比原来的0多了0.075.用这个方法来模拟波动忽动忽停，看起来很呆板，这个效果当然不是我们想要的。我们可以继续增加泰勒级数项的个数来减小误差，但是这将导致我们的公式非常的冗长。用4项的泰勒级数展开式需要我们进行7次乘法和3次加法来完成。泰勒级数不能同时满足我对精度和效率的要求。刚刚近似如果能满足sin（pi）=0就好了。从上图我还可以发现另一件事：这个曲线看起来很象抛物线！所以我们来寻找一个尽可能和sin接近的抛物线（公式）。抛物线的范式方程是：A+Bx+Cx^2.这个公式可以让们控制三个自由度。显然我们需要其满足sine(0)=0,sine(pi/2)=1andsine(pi)=0.这样我们就得到了3个等式。A+B0+C0^2=0A+Bpi/2+C(pi/2)^2=1A+Bpi+Cpi^2=0解得：A=0,B=4/pi,C=-4/pi^2.我们的抛物线诞生啦！貌似这个的误差看起来比泰勒级数还要遭。其实不是的！这种方法的最大误差是0.056.（译者：而且这种近似值没有误差积累）而且这个近似值的绘制出的波动是光滑的，而且只需要3次乘法和一次加法。不过它还不够完美。下图是[-pi,pi]之间的图像：显然我们至少需要它在1个完整的周期内都符合我们要求。但是我们可以看出，我们缺少的另一半是原抛物线的一个映射。它的公式是：4/pix+4/pi^2x^2。所以我们可以直接这样写：Code:if(x0){y=4/pix-4/pi^2x^2;}else{y=4/pix+4/pi^2x^2;}添加一个条件分支不是一个好的方法。它会让程序渐渐的变慢。但是观察一下我们模拟的和标准的图像是多么的接近啊！观察上面两式子，只是中间的一项正负号不同，我的第一个单纯的想法是可以提取x的正负号来消除分支，即使用：x/abs(x)。除法的代价是非常大的，我们来观察一下现在的公式：4/pix-x/abs(x)4/pi^2x^2。将除法化简后我们得到：4/pix-4/pi^2xabs(x).所以只需要多一步运算我们就得到了我们需要的sin逼近值！下图是结果接下来我们要考虑cos。有基础的三角公理可以知道：cos(x)=sin(pi/2+x).把x多加一个pi/2就可以搞定了？事实上它的某一部分不是我们期望得到的。我们需要做的就是当xpi/2时“跳回”。这个可以由减去2pi来实现。Code:x+=pi/2;if(xpi)//Originalxpi/2{x-=2*pi;//Wrap:cos(x)=cos(x-2pi)}y=sine(x);又出现了一个分支，我们可以用逻辑“与”来消除它，像是这样：x-=(xpi)&(2*pi);Code:x-=(xpi)&(2*pi);注意这并不是c的源代码。但是这个应该可以说明它是怎么样运行的。当xpi是false时，逻辑“与”（&）运算后得到的是0，也就是（x-=0）大小没有改变，哈哈完美的等价!我会给读这篇文章的读者留一些关于这个练习。虽然cos比sin需要多一些运算，但是相比之下貌似也没有更好方法可以让程序更快了。现在我们的最大误差是0.056，四项泰勒级数展开式每一次都会有一点点误差。再来看看我们sin函数：现在是不是不能继续提升精准度了呢？当前的版本已经可以满足大多度sin函数的应用了。但是对一些要求更高一些的程序现在做的还够。仔细观察图像，你会注意到我们的近似值总是比真实值大，当然除了0，pi/2和pi。所以我们要做的就是在不改变这些点（0，pi/2和pi）的情况下，将函数再“按下去”一些。解决方法是利用抛物线的平方。看起来就像这样：注意它保持着原来那些关键点，不同的是它比真实的sin函数值更低了。所以我们可以用一个加权的平均值来使两个函数更接近。Code:Q(4/pix-4/pi^2x^2)+P(4/pix-4/pi^2x^2)^2利用Q+P=1.你可以灵活的控制绝对误差或相对误差。别急我来告诉你取不同的极限结果时Q，P的值。绝对误差的最佳权值是：Q=0.775,P=0.225；相对误差的最佳权值是：Q=0.782，P=0.218。让我们来看一下结果的图像。红线呢？它几乎被绿线完全覆盖了，这足以证明我们的近似十分完美。最大误差是0.001，50倍的提升！这个公式看起来很长，但是括号里面的公式最终得到的值是相同的，也就是说括号里的只需要被计算一次。事实上在原来的基础上只是增加了额外的2次乘法和2次加法就可以得到现在的结果。先别高兴的太早，我们还要“制造”一个负号出来。我们需要增加一个abs()运算。最终的c代码是：Code:floatsine(floatx){constfloatB=4/pi;constfloatC=-4/(pi*pi);floaty=B*x+C*x*abs(x);#ifdefEXTRA_PRECISION//constfloatQ=0.775;constfloatP=0.225;y=P*(y*abs(y)-y)+y;//Q*y+P*y*abs(y)#endif}所以我们仅仅是需要多加5次乘法和3次加法就可以完成了。如果我们忽略abs()这个仍然是比4项泰勒级数展开式快，更精准！Cos只需要相应的变换一下x就可以了。(译者注：后面是汇编程序，不翻译了)part2我选取了最小误差的情况，用as3运行后发现提升了14倍，而且仍然是非常精准。不过你必须直接使用它，不能把它放到一个函数中，因为每调用一次额外的函数调用会削减执行效率，最终你会得到一个比Math.sin()和Math.cos()效率更差的结果。还有这里会用到的三角定理：cos(x)=sin(x+pi/2)cos(x-pi/2)=sin(x)下载:fastTrig.as.可以清楚到对比结果，现在你可以用这个替换Math.sin()和Math.cos()了哇哦！！！几乎是相同的精准度（14倍速度提升）//alwayswrapinputangleto-PI..PIif(x-3.14159265)x+=6.28318531;elseif(x3.14159265)x-=6.28318531;//computesineif(x0)sin=1.27323954*x+.405284735*x*x;elsesin=1.27323954*x-0.405284735*x*x;//computecosine:sin(x+PI/2)=cos(x)x+=1.57079632;if(x3.14159265)x-=6.28318531;if(x0)cos=1.27323954*x+0.405284735*x*xelsecos=1.27323954*x-0.405284735*x*x;}Highprecisionsine/cosine(~8xfaster)//alwayswrapinputangleto-PI..PIif(x-3.14159265)x+=6.28318531;elseif(x3.14159265)x-=6.28318531;//computesineif(x0){sin=1.27323954*x+.405284735*x*x;if(sin0)sin=.225*(sin*-sin-sin)+sin;elsesin=.225*(sin*sin-sin)+sin;}else{sin=1.27323954*x-0.405284735*x*x;if(sin0)sin=.225*(sin*-sin-sin)+sin;elsesin=.225*(sin*sin-sin)+sin;}//computecosine:sin(x+PI/2)=cos(x)x+=1.57079632;if(x3.14159265)x-=6.28318531;if(x0){cos=1.27323954*x+0.405284735*x*x;if(cos0)cos=.225*(cos*-cos-cos)+cos;elsecos=.225*(cos*cos-cos)+cos;}else{cos=1.27323954*x-0.405284735*x*x;if(cos0)cos=.225*(cos*-cos-cos)+cos;elsecos=.225*(cos*cos-cos)+cos;}Fastandaccuratesine/cosineapproximationJuly18,2007on2:31pm|InActionscript|50CommentsTrigonometricfunctionsarecostlyoperationsandcanslowdownyourapplicationiftheyareextensivelyused.Therearetworeasonswhy:First,Math.sin()isafunction,andthusneedsafunctioncallwhichsimpleeatsupsometime.Second,theresultiscomputedwithmuchmoreprecisionthanyouwouldeverneedinmostsituations.Mostoftenyoujustwanttheperiodicwave-likecharacteristicsofthesineorcosine,whichcanbeapproximatedinvariousways.Onecommonwayofmakingitfasteristocreatealookup-tablebycomputingthesineatdiscretestepsandstoringtheresultinanarray.Forexample:varsineTable:Array=[];for(vari:int=0;i90;i++){sineTable[i]=Math.sin(Math.PI/180*i)}Duetothesymmetryofthesinewave,it'ssufficienttocomputeonequadrantonly(0..pi/2),andtheother3/4'softhecirclecanbecomputedbyshiftingandwrappingtheinputvalue.Thebiggestdrawbackisthatthevaluesarestoredatafixedresolutionandsotheresultisnotveryaccurate.Thiscanbeenhancedwithlinearinterp