三角函数高考复习与应试策略

1三角函数高考复习与应试策略【命题趋势】本部分内容历来为高考命题的热点，主要考查三角函数的基本概念、图像性质及“和、差、倍”公式的运用。试题大都来源于课本中的例题、习题的变形，因此复习时应立足于课本、着眼于提高。如全国（2）卷中的第17题：已知锐角三角形ABC中，,51sin,53sinBABA（1）求证：BAtan2tan；（2）设3AB，求AB边上的高，就与下列课本习题相接近，课本第一册（下）第四章三角函数的小节与复习例2：已知51sin,32sin，求tantan的值。分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有23分，约占16%，近两年福建省高考题在本章中的命题：福建省2005年高考题(理科与文科)中第2、11、17题，分值为22分；福建省2006年高考题(理科)中第6、17题，福建省2006年高考题(文科)中第4、17题，分值为17分。试题内容主要有两方面：其一是考查三角函数的性质和图象变换；其二是考查三角函数的恒等变形，题型多为选择题、填空题和解答题的中档题。今年高考数学的“考试大纲”稍有调整，在三角函数一章的要求中，新增一条“同角三角函数基本关系式”。将过去要求的“了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质”改为了“理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质”。在复习中应相应作出调整：应关注三角函数式的化简及齐次式这样的类型题，要比较熟练地画出三角函数图像，理解诸性质如对称中心、对称轴、周期、单调、最值(极值)的相依关系；在大题中，要注意“化简三角函数式，再研究性质和图像”类题目。【考点分析】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点.在复习时要充分渗透数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象。21、三角函数线三角函数线是三角函数的一种几何表示，是用规定了方向的线段来表示三角函数的值.每种三角函数的定义及其相应的函数线之间的对应都是：“数”与“形”的对应，前者是代数形式，后者是几何形式，代数形式便于计算，几何形式形象直观.从三角函数的几何表示可以看出，三角函数及其性质与圆有着直接的联系。事实上，任意角、任意角的三角函数，三角函数的性质（周期性、单调性、最大值、最小值等），同角三角函数的关系式，诱导公式，三角函数的图象等，都可以借助单位圆得到认识，这也是人们把三角函数称作“圆函数”的原因。因此，在三角函数的研究中，借助单位圆进行几何直观是非常重要的手段，而且这也是使学生领会数形结合思想，学会数形结合地思考和解决问题的好机会。例题1已知sinα=31，求tanα的值。例题2求满足21sinx的x的取值范围。例题3已知20x，比较sinx、tanx、x的大小。本章讨论的内容都可以用单位圆作为直观工具。因此，为了更好地体现数形结合思想，教学中要充分发挥单位圆的作用，并且要注意逐渐使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯，引导学生自主地用单位圆探索三角函数的有关性质，提高分析和解决问题的能力。2、三角恒等变形同角三角函数的基本关系，正弦、余弦的诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切3、三角函数的图象与性质利用三角函数线作三角函数图象，将三角函数的定义、单位圆中的三角函数线、三角函数图象等诸方面紧密联系在一起，并通过角的变化，将这种联系直观地、动态地表现出来。从正弦、余弦曲线的形状，可以很清晰地看出正弦、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、最大(小)值等．由正弦、余弦曲线的这些特性，复习时应当要求每一位学生能够熟练用“五点法”画出y=Asin(ωx+)(A0，ω0)在某区间的图像，从而研究函数y=Asin(ωx+)(A0，ω0)性质，对函数y=Asin(ωx+)(A0，ω0)性质，可以用以下方法研究：3(1)、令ωx+=t，转化为y=Asint进行研究；(2)、利用图象的变换进行研究(见3)。对于非标准形式的三角函数(如：y=sinx+cosx等)，通过三角恒等变形（同角三角函数的基本关系，正弦、余弦的诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切）转化为y=Asin(ωx+)(A0，ω0)进行研究。4、三角函数的图象变换对函数)0,0()sin(AxAy图象的研究，由于涉及的参数有3个，复习时宜采取先讨论某个参数对图象的影响（其余参数相对固定），再整合成完整的问题解决的方法，具体线索如下：（1）探索对y＝sin(x+)的图象的影响；（2）探索ω对y＝sin(ωx+)(ω0)的图象的影响；（3）探索A对y＝Asin(ωx+)(A0，ω0)的图象的影响；（4）上述三个过程的合成。在对上述四个问题的具体讨论中，先让学生对参数赋值，形成对图象变化的具体认识，然后再推广到一般情形。在图像变换过程中注意结合变量代换的方法进行讲解。5、解三角形解答有关三角形中的问题，要抓住三角形中的边角关系（特别是正、余弦定理）将问题转化为三角函数的恒等变换求解。【复习策略】三角函数题相对比较传统，难度较低，位置靠前，重点突出。因此，在复习过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识。1、强化三角恒等变换公式的记忆。2、以三角函数线为工具，结合三角函数图象研究三角函数的图象与性质。注重抓基本知识点的落实、基本方法的再认识和基本技能的掌握，3、认真研究近几年的高考题，以基本综合检测题为载体进行强化训练，综合试题在形式上要贴近高考试题，但不能上难度。这一部分知识最可能出现的是“结合实际，利用少许的三角变换（尤其是余弦的倍角公4式和特殊情形下公式的应用）来考查三角函数性质”的命题，难度以灵活掌握倍角的余弦公式的变式运用为宜。建议三角函数的复习应控制在课本知识的范围和难度上，这样就能够适应未来高考命题趋势。总之，三角函数的复习应立足基础、加强训练、综合应用、提高能力。解答三角高考题的一般策略：（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。三角函数恒等变换的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=2－2等。（3）降次，即二倍角公式降次。（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。（5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=22basin(θ+)，这里辅助角（特殊角）所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=ab确定。【重要题型】1、三角函数线的应用例1（2005全国Ⅲ1）已知是第三象限的角，则2是（）.A.第一或二象限的角B.第二或三象限的角C.第一或三象限的角D.第二或四象限的角例2（02全国高考文5）在)2,0(内，使xxcossin成立的x的取值范围是（A）5(,)(,)424（B）(,)4（C）5(,)44（D）53(,)(,)442例3（2000全国高考题）已知sinαsinβ，那么下列命题成立的是()A.若α、β是第一象限角，则cosαcosβB.若α、β是第二象限角，则tanαtanβC.若α、β是第三象限角，则cosαcosβD.若α、β是第四象限角，则tanαtanβ5分析：利用单位圆中三角函数线比较三角函数值的大小，是一类常见的题型。2、求三角函数值例1（04湖北13）tan2010°的值为例2（05北京15）已知tan2=2，求（I）tan()4的值；（II）6sincos3sin2cos的值．例3（05福建卷17）已知51cossin,02xxx.（I）求sinx－cosx的值；（Ⅱ）求xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322的值.例4（04全国高考题17）已知锐角三角形ABC中，31sin(),sin().55ABAB（Ⅰ）求证BAtan2tan；（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.3、已知三角函数值求角例1（04全国Ⅱ卷5）已知函数)2tan(xy的图象过点)0,12(，则可以是（）A．6B．6C．12D．12例2（1995全国）求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值。4、三角恒等变换例1（03全国高考1）已知2(x，0），54cosx，则2tgx（）（A）247（B）247（C）724（D）724例2（03全国高考4）函数)cos(sinsin2xxxy的最大值为（）（A）21（B）12（C）2（D）2例3（04福建2）tan15°+cot15°的值是（）A．2B．2+3C．4D．3346例4（04湖南，理17）1cottansin2),2,4(,41)24sin()24sin(2求的值.例5（04湖南，文17）.coscossin21,2)4tan(2的值求已知例6（05福建卷17）已知51cossin,02xxx.（I）求sinx－cosx的值；（Ⅱ）求xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322的值.例73312(9225),cos(),sin().sin224135高考已知求值5、三角函数图象及性质例1（2002全国文，17）如图4—4，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx＋）＋b.（Ⅰ）求这段时间的最大温差；（Ⅱ）写出这段曲线的函数解析式.例2（2003全国高考题文20）已知函数()2sin(sincos)fxxxx奎屯王新敞新疆（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和最大值；（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数()yfx在区间,22上的图象奎屯王新敞新疆例3（2000全国高考题17）已知函数Rx,1xcosxsin23xcos21y2（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（II）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？例4（04重庆17）求函数44sin23sincoscosyxxxx的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]上的单调递增区间。图4—476、三角函数的应用（1）三角函数的最值问题①形如y=asinx+bcosx+c型，转化为)sin(22xbay型例（1996全国高考题）当22x时，函数f(x)=sinx+3cosx的(D)A.最大值是1，最小值是-1B.最大值是1，最小值是-21C.最大值是2，最小值是-2D.最大值是2，最小值是-1②形如y=asin2x+bsinx·cosx+cos2x型，通过降幂转化成Asin2x+Bcos2x型例求y=sin2x+2sinx·cosx+3cos2x的最小值及取得最小值时的x的集合，并求其最大值。③形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c型，令sinx=t或cosx=t转化成y=at2+bt+c的二次函数型。例（1997全国高考题）函数y=cos2x-3cosx+