数形结合在高考解题中的应用

数形结合在高考解题中的应用摘要：数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素。数形结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题的方法，而应作为一种基本的，重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从数与形的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。其基本模型有：1、22()()xayb距离函数2、yaxb斜率函数3、Ax＋By截距函数4、22(cos,sin)xy1(cos,sin)F单位圆＝上的点5、22aabb余弦定理6、axbcxd双曲线a．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。b．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()xy21422c．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。关键词：数形结合；斜率；单位圆；向量；函数；方程；几何模型；导数；复数一：数形结合思想在解决集合问题中的应用．1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．如：例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如右图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：48)()()()()()()(CBAnCBnCAnBAnCnBnAn即：48)(768152528CBAn∴1)(CBAn，即同时参加数理化小组的有1人．例2、设的自然数小于10I，已知.8,6,4,9,1,2BABABA求.,BA分析：如图，用长方形表示全集I，用圆分别表示集合A和B，用n表示集合的元素，则有：IBAnBAnBnAn)()()()(从韦恩图我们可以直观地看出：8,6,4,2,7,5,3,2BA．2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题．例3、设.,034|,016|22RIxxxBxxA求.,,,BABABABA分析:分别先确定集合A，B的元素，13|,44|xxxBxxA或，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案：4314|xxxBA或(公共部分)IBA(整个数轴都被覆盖)C（化）A（数）B（理）IA∩B3,5,72AB1,94,6,8。·－4－２０１２４３。·4314|xxxxBA或或(除去重合部分剩下的区域)BA(除去覆盖部分剩下的区域)例4、已知集合)0(,3|,31|aaxaxBxxA⑴若BA，求a的范围.⑵若AB，求a的范围．分析：先在数轴上表示出集合A的范围，要使BA，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，从而有:331aa,这时a的值不可能存在．要使AB，这时集合应该覆盖集合B,应有331aa成立．可解得11a为所求a的范围．二：方程、函数中数形结合问题作为解题方法，“数形结合”实际上包含两方面的含义：一方面对“形”的问题,引入坐标系或寻找其数量关系式,用“数”的分析加以解决；另一方面对于数量间的关系问题,分析其几何意义,借助形的直观来解。（1）“数”中思“形”例1.如果实数,xy满足等式22(2)3xy，那么yx的最大值是什么？例1、解：设点(,)Axy在圆22(2)3xy上，圆心为(2,0)C,半径等于3。如图，则yx是点A与原点连线的斜率。当OA与⊙C相切，且切点A落在第一象限时，OAk有最大值，即yx有最大值。因为CA=3，OC=2，所以OA=2223=1，所以max()yx=tanAOC=3。例2.求函数124)(22xxxxf的最小值。分析：2222)00()1()20()0()(xxxf)(xf的值是动点)0,(xP到两个定点A(0,2)与B(-1,0)的距离之和。由图知（图略），当且仅当P与B重合（即x=-1）时，5)1()(minfxf推广：若把动点P的活动范围从x轴上放宽到整个坐标平面，就可解下面的思考题：求函数1244),(2222xyxyyxyxf的最小值。请读者不妨一试。。a３a。－１3①。。－１３a3a②例3.解方程2261061010xxxx（2）“形”中觅“数”例1.求方程lgsin0xx的解的个数。分析：此方程解的个数为lgyx的图象与sinyx的图象的交点个数。因为sin1x,lg1x所以10ox在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。例2.设复数z满足arg()zi=23π,求1|6||3|zzi的最大值。解：要求1|6||3|zzi的最大值，即求|6||3|zzi的最小值，由复数模的几何意义知即求复数z对应的点到点(6,0)A和点(0,3)B的距离和的最小值。如图∵z满足arg()zi=23π∴复数z对应的复平面上的点z的轨迹是以(0,1)为端点，倾斜角为23的射线。由图可知，||ZAZB最小值为||AB=2263=35,故1|6||3|zzi的最大值是135=515。例3、对每个实数42214)(xxxxfx，，取，设中的最小值，那么)(xf的最大值是（）。25323138、、、、DCBA分析：如图，函数)(xfy的图像是图中的线，联立242xyxy，实解得：3832yx，故本题应选A。在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则。当然在教学渗透数形结合的思想时，应指导学生掌握以下几点：1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。2.正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。3.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。三：利用数形结合法解不等式问题说明近年的高考强调不等式基础知识考查的同时也很注重数学能力的考查和数学思想方法的应用，其中数形结合思想方法的应用不可忽视。下面列举六例说明。1.数形对照，相互渗透例1.使不等式||||xxa43有解的实数a的取值范围（）A.a7B.a7C.a1D.a1分析：||||xx43表示数轴上x所对应的点到与4、3所对应的两点距离之和。由图1可得其和最小值为1，故选D。图1例2.已知xyxyy，满足2220，欲使不等式xyc0恒成立，求实数c的取值范围。分析：欲使xyc0恒成立，即cxy恒成立，故cxy()min。于是问题转化为求xyyxy22202上一点，使有最小值问题。由图可知，当直线lxyxyyxy122020平行于且与圆相切于下方时，取最小值12图2故cc1221，从而。2.由数想形，直观显现例3.解不等式42xxx。分析：设fxxx()42，gxxx()()0，由yxx42得：()()xyy24022因为yxx4202表示以，为圆心，()2为半径，在x轴上方的半圆，yxx()0表示过原点斜率为1在第一象限的直线，如图3，由题意转化要求半圆（圆弧）应在直线的下方，可得24x，图3故原不等式的解集是（2，4]例4.求使不等式log()21xx成立的x的取值范围。（03年全国高考题14）解：设fxx()log()2，gxx()1因为函数fxx()log()2的图象与函数yxlog2图象关于y轴对称，gxx()1的图象是一条过点（0，1）的直线由图4可得10x图4例5.已知abR，且xaxb220，xbxa220都有实根，求ab的取值范围。解：依题意得abba22800，即abba228，（*）则满足（*）的点（a，b）在图5所示的阴影区域内。图5设zab，则zab所表示的直线系中，过点A（4，2）的直线在b轴上的截距即为满足（*）的z的最小值。所以()minab426故ab63.由数构形，抽象变形象例6.设fxgx()()、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，fxgxfxgx'()()()'()0且g()30，则不等式fxgx()()0的解集是（）A.()(,)303，B.()()3003，，C.()()，，33D.()()，，303（04年湖南高考题12）解：设Fxfxgx()()()，因为当x0时，fxgxfxgx'()()()'()[()()]''()fxgxFx0所以Fx()()在，0上是增函数因为fxgx()()、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以Fx()为奇函数又g()30所以Ffg()()()3330又fx()是奇函数，所以f()00故F()00根据以上特点，不妨构造如图6所示的符合题意的函数F（x）的图象，由图直接观察出所求解集是()()，，303图6故选D。由上几例可知，在不等式的教学或复习中要有意识注意数形结合思想方法的渗透。四：立体几何问题构建立体几何模型，研究代数问题，研究图形的形状、位置关系、性质等【典例7】若三棱锥A-BCD侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ΔABC组成的图形可能是（）分析：此题将立体几何与解析几何巧妙结合，是对过去分离考核的创新。可先考虑特殊图形，当AC⊥平面BCD时，如图1，将问题转化为P到AB的距离和BC距离相等的点的轨迹，显然P点轨迹是∠ABC的平分线。当AC不垂直平面BCD时如图（2）的P到平面DBC和边BC的距离分别为h，dBC,设A-BC-D的大小为1sindhdd，BCBCAB，故选D.误点警示：解决此类问题，关键要善于利用空间几何性质，将问题转化到平面几何中，再利用平面几何的相关性质就比较容易解决.【变式训练】6.如图，平面ADE⊥平面ABCD，△ADE边长为α的