2016届 创新设计 数学一轮(理科)人教A版配套精品课件 第三章 导数及其应用 第3讲 导数的综合

考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例1训练1例2训练2例3训练3第3讲导数的综合应用概要课堂小结结束放映返回目录第2页夯基释疑判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式共同确定．()(2)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()(3)连续函数在闭区间上必有最值．()(4)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．()结束放映返回目录第3页考点突破解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，考点一利用导数解决生活中的优化问题所以h＝15r(300－4r2)，【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因r0，又由h0可得r53，故函数V(r)的定义域为(0，53)．结束放映返回目录第4页考点突破令V′(r)＝0，解得r＝5或－5(因r＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0，5)时，V′(r)0，故V(r)在(0，5)上为增函数；考点一利用导数解决生活中的优化问题(2)因V(r)＝π5(300r－4r3)，【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．故V′(r)＝π5(300－12r2)，当r∈(5，53)时，V′(r)0，故V(r)在(5，53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．结束放映返回目录第5页考点突破规律方法求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．考点一利用导数解决生活中的优化问题结束放映返回目录第6页考点突破解(1)因为x＝5时，y＝11，【训练1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．所以a2＋10＝11，a＝2.考点一利用导数解决生活中的优化问题(2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2.f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]所以商场每日销售该商品所获得的利润从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.结束放映返回目录第7页考点突破于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：考点一利用导数解决生活中的优化问题由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．接上一页，f′(x)＝30(x－4)(x－6)．x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减【训练1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．结束放映返回目录第8页考点突破考点一利用导数解决生活中的优化问题所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．【训练1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．结束放映返回目录第9页考点突破考点二利用导数证明不等式【例2】(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝aexlnx＋bex－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)＞1.f′(x)＝aexlnx＋axex－bx2ex－1＋bxex－1.(2)证明由(1)知，f(x)＝exlnx＋2xex－1，从而f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－2e.(1)解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e.故a＝1，b＝2.所以当x∈0，1e时，g′(x)＜0；设函数g(x)＝xlnx，则g′(x)＝1＋lnx.结束放映返回目录第10页考点突破【例2】(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝aexlnx＋bex－1x，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)＞1.当x∈1e，＋∞时，g′(x)＞0.故g(x)在0，1e上单调递减，在1e，＋∞上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g1e＝－1e.所以当x∈(0，1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，综上，当x＞0时，g(x)＞h(x)，即f(x)＞1.设函数h(x)＝xe－x－2e，则h′(x)＝e－x(1－x)．从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e.考点二利用导数证明不等式结束放映返回目录第11页考点突破规律方法利用导数证明不等式常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式，这是用导数证明不等式的基本思路．考点二利用导数证明不等式结束放映返回目录第12页考点突破若a≤0，f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(1)解f′(x)＝2－axx，x0.若a0，当x∈0，2a时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x∈2a，＋∞时，f′(x)0，f(x)单调递减．若a2，当x∈2a，1时，f(x)单调递减，f(x)f(1)＝0，不合题意，(2)证明由(1)知，若a≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝0，故f(x)≤0不恒成立．考点二利用导数证明不等式【训练2】已知函数f(x)＝2lnx－ax＋a(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≤0恒成立，证明：当0x1x2时，f(x2)－f(x1)x2－x121x1－1.结束放映返回目录第13页考点突破f(x)f(1)＝0，不合题意，【训练2】已知函数f(x)＝2lnx－ax＋a(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≤0恒成立，证明：当0x1x2时，f(x2)－f(x1)x2－x121x1－1.若0a2，当x∈1，2a时，f(x)单调递增，当0x1x2时，f(x2)－f(x1)＝2lnx2x1－2(x2－x1)2x2x1－1－2(x2－x1)＝2(1x1－1)(x2－x1)，所以f(x2)－f(x1)x2－x121x1－1.若a＝2，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝0符合题意．故a＝2，且lnx≤x－1(当且仅当x＝1时取“＝”)．考点二利用导数证明不等式结束放映返回目录第14页考点突破令f′(x)＝0，得x＝e1－a，当x∈(0，e1－a)时，f′(x)0，f(x)是增函数；当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)0，f(x)是减函数．所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e1－a]，单调递减区间为[e1－a，＋∞)，极大值为f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无极小值．考点三利用导数求参数的取值范围【例3】已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．f′(x)＝1－(lnx＋a)x2.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，结束放映返回目录第15页考点突破令F′(x)＝0，得x＝e2－a；令F′(x)0，得xe2－a；令F′(x)0，得xe2－a，故函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，在区间[e2－a，＋∞)上是减函数．①当e2－ae2，即a0时，函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，在区间[e2－a，e2]上是减函数，F(x)max＝F(e2－a)＝ea－2.考点三利用导数求参数的取值范围【例3】已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝lnx＋a－1x，则F′(x)＝－lnx＋2－ax2.结束放映返回目录第16页考点突破由图象，易知当0xe1－a时，F(x)0；当e1－ax≤e2，F(x)0，此时函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有1个公共点．②当e2－a≥e2，即a≤0时，F(x)在区间(0，e2]上是增函数，考点三利用导数求参数的取值范围【例3】已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．又F(e1－a)＝0，F(e2)＝a＋1e20，F(x)max＝F(e2)＝a＋1e2.结束放映返回目录第17页考点突破函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上只有1个公共点;考点三利用导数求参数的取值范围【例3】已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．若F(x)max＝F(e2)＝a＋1e2≥0，即－1≤a≤0时，若F(x)max＝F(e2)＝a＋1e20，即a－1时，函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在区间(0，e2]上没有公共点．综上，满足条件的实数a的取值范围是[－1，＋∞)．结束放映返回目录第18页考点突破规律方法函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．考点