高考一轮复习函数的单调性与最值

【2014年高考会这样考】1．考查求函数单调性和最值的基本方法．2．利用函数的单调性求单调区间．3．利用函数的单调性求最值和参数的取值范围．4．函数的单调性和其它知识结合综合考查求函数最值、比较大小、解不等式等相关问题.第2讲函数的单调性与最值抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考限时规范训练函数的单调性函数的最值考向一考向二考向三利用函数的单调性求参数的范围单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】抽象函数的单调性及最值求函数的单调区间函数单调性的判断及应用选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、上升的下降的考点梳理f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是.自左向右看图象是.1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，叫做y＝f(x)的单调区间．增函数减函数区间D2．函数的最值考点梳理f(x)≥Mf(x0)＝M前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有；②存在x0∈I，使得。①对于任意x∈I，都有；②存在x0∈I，使得。结论M为最大值M为最小值f(x)≤Mf(x0)＝M助学微博单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”联结，也不能用“或”联结．一个防范两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1x2，那么①fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是增函数；fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小值)．单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测BCAD123451．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则()．A．f(3)f(－2)f(1)B．f(1)f(－2)f(3)C．f(－2)f(1)f(3)D．f(3)f(1)f(－2)2．(2013·西安调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x20，则f(x1)＋f(x2)的值()．A．恒为正值B．恒等于零C．恒为负值D．无法确定正负3．(2012·广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()．A．y＝ln(x＋2)B．y＝－x＋1C．y＝12xD．y＝x＋1x4．(2013·金华模拟)若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()．A．(－1,0)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]5．(人教A教材习题改编)函数f(x)＝2xx＋1在[1,2]的最大值和最小值分别是________．4,13【例1】►试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．解设－1x1x21，f(x)＝ax－1＋1x－1＝a1＋1x－1，f(x1)－f(x2)＝a1＋1x1－1－a1＋1x2－1＝ax2－x1x1－1x2－1当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递减；当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上递增．[审题视点]可利用定义或导数法讨论函数的单调性．考向一函数单调性的判断及应用【方法锦囊】证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．【训练1】已知f(x)＝xx－a(x≠a)．(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．(1)证明任设x1x2－2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1＋2－x2x2＋2＝2x1－x2x1＋2x2＋2.∵(x1＋2)(x2＋2)0，x1－x20，∴f(x1)f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．考向一函数单调性的判断及应用[审题视点]可利用定义或导数法讨论函数的单调性．【方法锦囊】证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．(2)解任设1x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝ax2－x1x1－ax2－a.∵a0，x2－x10.∴要使f(x1)－f(x2)0，只需(x1－a)(x2－a)0恒成立，∴a≤1.综上所知0a≤1，即a的取值范围为(0,1]．考向一函数单调性的判断及应用[审题视点]可利用定义或导数法讨论函数的单调性．【方法锦囊】证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．[审题视点]【方法锦囊】求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成两个基本初等函数；(3)分别确定两基本初等函数的单调性；(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．考向二求函数的单调区间【例2】►求函数y＝x2＋x－6的单调区间．解令u＝x2＋x－6，y＝x2＋x－6可以看作有y＝u与u＝x2＋x－6的复合函数．由u＝x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.∵u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y＝u在(0，＋∞)上是增函数．∴y＝x2＋x－6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)．先确定定义域，再利用复合函数的单调性求解．【训练2】(2013·大连模拟)求函数y＝log12(x2－3x＋2)的单调区间．解令u＝x2－3x＋2，则原函数可以看作y＝log12u与u＝x2－3x＋2的复合函数．令u＝x2－3x＋20，则x1或x2.∴函数y＝log12(x2－3x＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．[审题视点]【方法锦囊】求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成两个基本初等函数；(3)分别确定两基本初等函数的单调性；(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．考向二求函数的单调区间先确定定义域，再利用复合函数的单调性求解．又u＝x2－3x＋2的对称轴x＝32，且开口向上．∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数．而y＝log12u在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y＝log12(x2－3x＋2)的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．[审题视点]【方法锦囊】求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤：(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成两个基本初等函数；(3)分别确定两基本初等函数的单调性；(4)按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．考向二求函数的单调区间先确定定义域，再利用复合函数的单调性求解．考向三抽象函数的单调性及最值【例3】►已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x0时，f(x)0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明法一∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1x2，则x1－x20.f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．[审题视点]抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形．考向三抽象函数的单调性及最值【方法锦囊】法二设x1x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又∵x0时，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)在R上为减函数．(2)解∵f(x)在R上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或fx1fx2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·x1x2或x1＝x2＋x1－x2等．【训练3】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．解(1)令x1＝x20，代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则x1x21，由于当x1时，f(x)0所以fx1x20，即f(x1)－f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f(x)在[0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由fx1x2＝f(x1)－f(x2)，得f93＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.考向三抽象函数的单调性及最值【方法锦囊】对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或fx1fx2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2·x1x2或x1＝x2＋x1－x2等．规范解答1利用函数的单调性求参数的范围【命题研究】从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测2014年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．揭秘3年高考【示例】►(本小题满分13分)(2011·北京)已知函数f(x)＝(x－k)2exk.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k的取值范围．[教你审题](1)根据导函数大于零和小于零即可得出函数的单调区间，但求解过程中要注意对参数k进行分类讨论．(2)利用函数单调性求出函数最大值f(x)max，使f(x)max≤1e即可解出k的取值范围．[规范解答](1)f′(x)＝1k(x2－k2)exk.令f′(x)＝0，得x＝±k.(2分)当k0时，f(x)与