第十二章《全等三角形》单元复习

12.全等三角形单元复习第十二章全等三角形知识结构全等形全等三角形对应边相等对应角相等三角形全等的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）角平分线上点到两边的距离相等到角两边的距离相等的点在角平分线上解决问题1.三角形全等的判定法：“SSS”三边对应相等的两个三角形全等（可简写为“边边边”或“SSS”）ABCDEF在△ABC和△DEF中AB＝DEAC＝DFBC＝EF∴△ABC≌△DEF（SSS）2.三角形全等的判定法：“SAS”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写为“边角边”或“SAS”）ABCDEF在△ABC和△DEF中AB＝DE∠B＝∠EBC＝EF∴△ABC≌△DEF（SAS）3.三角形全等的判定法：“ASA”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写为“角边角”或“ASA”）ABCDEF在△ABC和△DEF中∠B＝∠EBC＝EF∠C＝∠F∴△ABC≌△DEF（ASA）4.三角形全等的判定法：“AAS”两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写为“角角边”或“AAS”）ABCDEF在△ABC和△DEF中∠A＝∠D∠B＝∠EBC＝EF∴△ABC≌△DEF（AAS）5.三角形全等的判定法：“HL”斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写为“斜边、直角边”或“HL”）在Rt△ABC和Rt△DEF中AC＝DFAB＝DE∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）ABCDEF6.角的平分线的性质角平分线上点到两边的距离相等OABCPDE∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD＝PE7.角的平分线的判定到角两边的距离相等的点在角平分线上OABCPDE∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE∴OC平分∠AOB如图是一块三角形的玻璃被打碎成了三块,现在小明要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿()去配.①②③一、全等三角形判定条件思路分析如图，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补充一个条件（），使△ABC≌△DCB。找夹角找第三边已知两边：∠ABC=∠DCB（SAS）AC=DB（SSS）ABCD1.如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，∠D的对应角是（）A.∠FB.∠DEFC.∠BACD.∠CABCDEFC2.判定两个三角形全等必不可少的条件是（）A.至少有一边对应相等B.至少有一角对应相等C.至少有两边对应相等D.至少有两角对应相等A3.如图，AB⊥AC，DE⊥DF，AB∥DE，BE＝CF，则可判定△ABC≌△DEF的根据是（）A.SSSB.SASC.HLD.AASABCDEFD4.已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100cm，A、B分别与D、E相对应，并且AB＝30cm，DF＝25cm，则BC的长等于（）A.45cmB.55cmC.30cmD.25cmA如图，OA=OD，AB=CD求证：BD=CA二、全等三角形判定条件思路分析O5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC＝32，且BD：CD＝9：7，则点D到AB的距离为（）A.18B.16C.14D.12CABCD9x7xE6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足点分别是D、E、F，且AB＝10，BC＝8，AC＝6，则点O到三边AB、AC、BC的距离分别等于（）A.2、2、2B.3、3、3C.4、4、4D.2、3、5ABCODEFA7.如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DE＝DF，则∠EDF＋∠BAF＝.ABCDEF（提示：作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H）180°8.如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝EC，BC＝DE，DE、BC交于点O.求证：DE⊥BC.ABCDEO证明：∵AB∥CD∴∠DCA＝180°－∠A＝180°－90°＝90°在Rt△ABC和Rt△CED中BC＝DEAB＝EC∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL）∴∠B＝∠DEC又∵∠A＝90°∴∠ACB＋∠B＝90°∴∠ACB＋∠DEC＝90°∴∠COE＝90°∴DE⊥BC9.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上的另外一点，连接DF、EF.求证：DF＝EF.OABCPDEF（提示：分两步证明：①证明△OPD≌△OPE；②证明△OFD≌△OFE）9.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上的另外一点，连接DF、EF.求证：DF＝EF.OABCPDEF证明：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD＝PB在Rt△OPD和Rt△OPE中OP＝OPPD＝PE∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）∴OD＝OE又∵OC是∠AOB的平分线∴∠DOF＝∠EOF在△OFD和△OFE中OD＝OE∠DOF＝∠EOFOF＝OF∴△OFD≌△OFE（SAS）∴DF＝EF10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC且AD＝BD.求证：CD⊥AC.ABCDE（提示：过点D作DE⊥AB于E分两步证明：①△ADE≌△BDE；②△ADE≌△ADC）10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC且AD＝BD.求证：CD⊥AC.ABCDE证明：过点D作DE⊥AB于E∴∠AED＝∠BED＝90°在Rt△ADE和Rt△BDE中AD＝BDDE＝DE∴Rt△ADE≌Rt△BDE（HL）∴AE＝BE即AB＝2AE又∵AB＝2AC∴AE＝AC∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD在△ADE和△ADC中AE＝AC∠EAD＝∠CADAD＝AD∴△ADE≌△ADC（SAS）∴∠C＝∠AED＝90°∴CD⊥AC11.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D作直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG、EF.（1）求证：BG＝CF；（2）求证：BE＋CF＞EF.ABCDEFG11.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D作直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG、EF.（1）求证：BG＝CF.ABCDEFG证明：∵AC∥BG∴∠GBD＝∠C∵D是BC的中点∴BD＝CD在△BDG和△CDF中∠GBD＝∠C∠BDG＝∠CDFBD＝CD∴△BDG≌△CDF（AAS）∴BG＝CF11.如图，在△ABC中，D是BC的中点，过点D作直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG、EF.（2）求证：BE＋CF＞EF.ABCDEFG证明：∵△BDG≌△CDF∴BG＝CF，GD＝FD∵DE⊥GF∴∠GDE＝∠FDE＝90°在△GDE和△FDE中GD＝FD∠GDE＝∠GDFDE＝DE∴△GDE≌△EDF（SAS）∴GE＝EF∵BE＋BG＞GE∴BE＋CF＞EF12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC.求证：△EBC是等腰直角三角形.ABCDE（提示：证明△ABE≌△DCE）12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC.求证：△EBC是等腰直角三角形.ABCDE证明：∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°∴∠EDC＝∠AED＋∠EAD＝135°，∠EDA＝90°－∠EAD＝45°∴∠EAD＝∠EDA∴AE＝DE（等角对等边）又∵∠BAC＝90°∴∠BAC＋∠EAD＝135°即∠BAE＝135°∴∠BAE＝∠EDC∵D是AC的中点∴AC＝2CD又∵AC＝2AB∴AB＝CD12.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC.求证：△EBC是等腰直角三角形.ABCDE在△ABE和△DCE中AE＝DE∠BAE＝∠EDCAB＝CD∴△ABE≌△DCE（SAS）∴BE＝CE，∠AEB＝∠DEC∴∠AEB＋∠BED＝∠DEC＋∠BED即∠AED＝∠BEC又∵∠AED＝90°∴∠BEC＝90°∵BE＝CE，∠BEC＝90°∴△EBC是等腰直角三角形