搜索
数学物理方法数学物理方法————配套电子教案配套电子教案梁昆淼梁昆淼编编高等学校试用教材高等教育出版社上课时间:每学年春季学期上课地点:德润楼主讲教师:王松平（E-mail:phspwang@qdu.edu.cn）讲课学时（18周）：（共20周，复习考试2周）72学时；其中：五月一放假2学时。学分：4学分学习成绩：平时成绩10％＋期中10％+期末80%=100%平时作业:习题（梁昆淼书）考试方式：期中、末考试闭卷第一章复数与复变函数第二章复变函数的积分第三章幂级数展开第四章留数定理第五章傅里叶变换第六章拉普拉斯变换学习内容（72学时）：第七章定解问题第八章分离变量法第九章级数解法本征值问题第十章球函数第十一章柱函数第十二章格林函数,解的积分公式第十三章积分变换法引言1.数学物理方法：物理学中的数学方法，主要强调应用数学解决物理问题。如：力学中的微分方程，电动力学，量子力学中的篇微分方程等.2.特点：与物理学紧密联系，不是纯数学，为物理学提供数学工具，它属于物理课程。用到的数学知识和物理知识多繁杂必须具备良好的数学基础，基本的基础物理知识,3.如何学习:太难了！太重了！枯燥！乏味！Thekey:下功夫，多做习题不要畏惧，有王老师呢！第一章复数与复变函数§1.1复数与复数运算§1.2复变函数§1.3导数§1.4解析函数§1.5平面标量场§1.6多值函数§1.1复数与复数运算复数是数的扩张（完善化）u自然数u减法不封闭→整数u除法不封闭→有理数u不完备√2→实数u方程可解性→复数1.复数的基本概念(1)复数：一对有序实数（x,y），记为z=x+iy称为复数（i2=-1），规定：1）z1=z2=x1+iy1=x2+iy2,当且仅当x1=x2,y1=y22）z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)3）z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+y1x2))0(2222≠++-+++=--⋅++=++yx2222211222222121222222112211yxyxyxiyxyyxxiyxiyxiyxiyxiyxiyx4）(2)按定义：容易验证加法交换律、结合律，乘法交换律结合律分配律均成立。(3)共轭复数：iyxz-=与互为共轭复数。iyxz+=(4)复平面：一对有序实数(x,y)平面上一点(x,y)复数x+iy如果把x和y当作平面上的点的坐标，复数z就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴.21212121212122,,Im2,Re2,,zzzzzzzzzzzzzizzzzzyxzzzz=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+=+=-=++==xyz=x+iyθ(5)复数的几种表示法：1)几何表示：一矢量与一复数z构成一一对应，复数的加减与矢量的加减一致。2121zzzz+≥+2121zzzz-≤-zyxzyzx≥+≤≤,xyz=z1+z2z1z2xyz=z1-z2z1z2-z22)复数的三角形式和指数形式用极坐标r,φ代替直角坐标x和y来表示复数z.有⎪⎩⎪⎨⎧=+=)/(22xyarctgyxjr⎩⎨⎧φρ=φρ=sincosyx则复数z可表示为三角式：)sin(cosjjriz+=代数式：jriez=z=rArgz=j分别叫做该复数的模,和辐角讨论：i)复数的幅角不能唯一地确定.如果φ0是其中一个幅角，则φ=φ0+2kπ(k=0,±1,±2,…..)也是其幅角，把属于[0,2π)的幅角称为主值幅角，记为argz.0≤argz2πii)复数“零”的幅角无定义，其模为零.jjjieisincosz=+=iii)当ρ=1时,称为单位复数.利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：)]sin(i)[cos(ezz)(i212121212121jjjjrrrrjj+++==+)]sin()[cos(212121)(212121jjjjrrrrjj-+-==-iezzi(6)复数的乘方与开方：)sin(cosjjrrjninezninnn+==非零复数ｚ的整数n次幂为:2121212121212121ArgArgArgArgArgArgzzzzzzzzzzzzzzzz-=+===jjjjnininsincos)sin(cos+=+ρ=1时非零复数ｚ的整数n次根式为:)1....2,1,0()2sin2(cos2-=+++==+nknkinkeznnkinnpjpjrrpj2.无穷远点复平面上一点与球面上的点一一对应，复平面上∝点与球面上N相对应，点的幅角无意义。复平面+∝为闭平面。（全平面扩充平面）。AA’NS例1.求iiK210,k±±==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+-+2kπ)2π(eeii2kπ2πii)(例2.求4arg0p+-iziz表示的图形4arg0p+-iziz2)1(1,02222+++yxyxx，于是有：解：)1(2i)1(1)1()1(222222++-+++-+=++-+=+-yxxyxyxyixyixiziz解：0)1(2)1(1222222++-++-+yxxyxyx§1.2复变函数1.复变函数的定义：E为复数集，对E上每一复数，有唯一确定的复数w与之对应，则称在E上确定了一个单值函数，记w=f(z)(z∈E)。若z与多个w对应，则称在E上确定义了一个多值函数，E为函数的定义域。2.区域的概念：满足一定条件的特殊集合，首先说明：10点的邻域：以Z0为中心（任意小正数）为半径的圆内点的集合，称为z0的ε邻域，即εzz0-20内点：若z0及其邻域的场属于E，则称z0为E的内点.30边界点：若z0的任意邻域总有属于点集E和不属于点集E的点称为E的边界点。边界点的全体构成边界。40区域：满足下列两个条件的点集B称为区域。（1）每一点均为内点。（开集性）（2）连续性：B内任意两点都可用完全属于B的曲线连接起来。50闭区域：B+边界Γ=闭区域60单连域：在区域B作任何简单闭曲线(没有重点）内所包围的点全属于B，否则为多连通区域。例:是闭区域但不是区域。21≤-z21-iz为多连通区域3.复变函数的极限和连续(1)复变函数的极限和连续的定义同实变函数极限、连续定义完全相同。只不过当z→z0时，从任意方向。f(z)在B上各点连续称f(z)在B上连续。由于：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如z2=x2+y2+i2xy)()(lim00ibawzfzz+==→ayxuyyxx=→→),(lim00byxvyyxx=→→),(lim00这样f(z)在z0连续，可归结为u,v在(x0,y0)连续。复变函数中极限、连续在定义形式上与微积分中相对应，关于其中的函数，极限，连续的性质和运算法则在复变函数中亦成立。4.复变函数分类复变函数分类(广义）复数数列复变函数（狭义）初等函数非初等函数代数函数超越函数有理函数无理函数整式函数分式函数无限次运算无限次复合级数无穷乘积幂级数傅立叶级数例：初等单值函数幂函数：w=znn=1,2,-----多项式：a0+a1z1+a2z2+----+anznn为整数有理分式：nnnnzbzbbzazaa++++++LL110110n为整数指数函数：)sin(cosyiyeeewxiyxz+===+zkizee=+p2(k=0,±1±2…)以2πi为周期2121zzzzeee+=不存在=→∝zzelim0lim,lim=∞=-∞→∝+∞→∝eezz正余弦：)(21sinzizizeei--=)(21coszizizee-+=sinz为奇函数，cosz为偶函数，均以2π为周期)(21),(21zzzzeechzeeshz--+=-=若复数内不一定成立1cos,1sin≤≤zz222cos)(yyyiyiiyeeeeeiy+=+=--如y充分大，cosiy可以大于任意指定函数初等多值函数后面专门讨论！§1.3导数1.定义：设w=f(z)在B上游定义。若在B内某z∈B,极限zzfzzfzwzzΔ-Δ+=ΔΔ→Δ→Δ)()(limlim00存在，则称f(z)在z可导，记为)()(zfdzzdf′或注：复变函数和实变函数的导数的定义，虽然形式上相同，实质上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx只沿实轴逼近零，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.zx例：iyxzzf-==)(在复平面上处处不可导zzzzzzΔΔ=Δ-Δ+Q当Δz→0沿实轴1,→ΔΔ=ΔΔΔ=Δxxxzxz沿虚轴1,-=Δ-=ΔΔ=Δiyyizziyz极限不存在，因而不可导。2.可导必定连续，连续不一定可导，这样的函数在实变函数中不易找到，但是在复变函数中屡见不鲜，如iyxzzf-==)(3.求导法则：复变函数导数的定义，在形式上跟实变函数的导数定义一样，因而实变函数论中的关于导数的规则和公式可用于复变函数。例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=+=+dzdwdwdFwFdzddwdzdzd)(/1)()()(22/212/1212121212121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-====-zzdzdzzdzdzzdzdeedzdnzzdzdzznn1lnsincoscossin14.可导的必要条件Cauchy-Riemann条件若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy可导，则yixviuzwzfyxzΔ+ΔΔ+Δ=ΔΔ=′→Δ→Δ→Δ000limlim)(沿x轴时，Δy=0vvixuxviux∂∂+∂∂=ΔΔ+Δ=→Δ0lim上式沿y轴时，Δx=0yuiyvyiviuy∂∂-∂∂=ΔΔ+Δ=→Δ0lim上式条件Riemann-Cauchy,←∂∂-=∂∂∂∂=∂∂∴xvyuyvxu5.函数f(z)可导的充分必要条件:函数f(z)的偏导数存在，且连续，并且满足柯西—黎曼方程。xvyuyvxu∂∂∂∂∂∂∂∂,,,证明：由于这些偏导数连续，二元函数u和v的增量可分别写为：004321→→ΔΔ+Δ+Δ∂∂+Δ∂∂=ΔΔ+Δ+Δ∂∂+Δ∂∂=Δeeeee时，当zyxyyvxxvvyxyyuxxuu的方式无关）这一极限与0()()(lim)()(limlimlim00000→Δ∂∂+∂∂=Δ+ΔΔ+Δ∂∂+Δ+Δ∂∂=+ΔΔ∂∂+Δ∂∂+Δ∂∂+Δ∂∂=ΔΔ+Δ=ΔΔ→Δ→Δ→Δ→Δ→ΔzxvixuyixyixxviyixxuOzyyvxxviyyuxxuzviuzfyxzzze由上述定理可得：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实部与虚部通过C--R条件联系起来。例如：函数在z=0点满足C--R条件，但不可微。由于，于是0),(=yxv显然满足C--R条件，但在z=0点并不可微，因为：yixyxzfzfxyzfyxzΔ+ΔΔΔ=Δ-Δ=→Δ→Δ→Δ000lim)0()(lim,)(当Δz沿射线Δy=kΔx趋于零时:ikkxikxxkzfzfyxz+=Δ+ΔΔ=Δ-Δ→Δ→Δ→Δ1lim)0()(lim2000与k有关，沿不同的射线，k值不同，所以该极限不存在，从而函数在z=0点不可微.哥西-黎曼条件为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ρ∂∂-=φ∂∂ρφ∂∂ρ=ρ∂∂vuvu11在极坐标系中，jriez=),(),()(jrjrivuzf+=§1.4解析函数1.定义：若函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导,则称f(z)在点z0解析。又若函数f(z)在区域B上每一点都解析则称f(z)是区域B上的解析函数.注意：1)有时说：“函数f(z)在某点解析”，是指在该点的某一邻域内处处可导。在B上解析与在B上可导等价，在一点解析与在一点可导不等价。2)“函数f(z)在闭区域上解析”，是指它在包含的某个区域上解析.BB3)如果f(z)在点z0点不解析，则称z0为f(z)的奇点。例：考察函数f(z)=|z|2是否解析方法1，按照定义或者求导公式；方法2，按照充要条件0,2,20,,)(2222