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数学物理方法试卷第1页（共2页）重庆邮电大学2013-2014学年第一学期数学物理方法试卷（期中）（闭卷）数理学院，物理类专业，1101201-06题号一二总分1234567得分评卷人（注意：答案全部写在答题纸上！）一、填空题(每小题3分，共30分)(1)设1zi=−+，则argz=__________,4z=__________.(2)满足条件113zz++−=的复数z的轨迹是_____________.(3)设()3izi=−则Rez=________，Imz=________________.(4)规定多值函数4wz=在1z=处有()1wi=，则()wi=____________.(5)设()sinh2zzeefzz−−=≡，则其导函数()'fz=___________.(6)幂级数2012nnnz∞=∑的收敛半径R=___________.(7)函数()zfzze=在1z=处的Taylor（泰勒）级数为()fz=___________________.(8)函数()211wzz=+在环域02zi−内的Laurent（洛朗）级数为()wz=_____________.(9)设1213iIzdz−+−=∫，则()ReI=___________.数学物理方法试卷第2页（共2页）(10)无穷远点是复变函数()2fzz=的__________,是复变函数()zfze=的_________.（从“非孤立奇点、可去奇点、极点、本性奇点”中选取正确答案填在空白处）二、计算题（共70分）1.已知解析函数()wfz=的实部为22uxy=−，且()1fi=−，求该解析函数及其导函数。(12分)2.计算下列围线积分。（每小题5分，选作3道，共15分）()222111zzzdzz=−+−∫；()22sin21zzdzz=−∫；()()42sin31zzdzz=−∫；()21sin468zzdzzz=++∫.3.将函数()211fzz=−在指定环域内展开为Laurent级数.(每小题5分，共10分)()1012;z−()20.z∞4.计算下列函数在指定孤立奇点处的留数。（每小题5分，选作4道，共20分）()()221,39zezizz=+;()312cos,22zzz=−;()113,zez−=∞;()()24,11mmzzz=−+;()()22sin5,zzzππ=−.5.计算下列实积分。（每小题6分，选作3道，共18分）(1)220,0112cosdpppπθθ−+∫;(2)4011dxx∞+∫;(3)440cos,0,0mxmbxb∞+∫;(4)()2sin1xdxxx∞−∞+∫.数学物理方法试卷第3页（共2页）一、填空题 ()41arg3/4,4.zzπ==− ()22662Recos(ln2),Imsin(ln2),0,1..kkzezekππππ++===±L ()()5/83.iwieπ= ()()4'coshor.2zzeefzz−+= ()54.R= ()()()()11171,01.!1!nnfzeezznn∞=⎛⎞=++−≤−+∞⎜⎟−⎝⎠∑ ()()()()2118,02.2nnnnniwzzizi−∞+=−−=−+∑ ()()9Re3.I= ()10二阶极点，本性奇点。 二、计算题 1.解：由题设可得，2,2xyyxvuyvux=−===； 所以有()22xydvvdxvdydxyvxyC=+=⇒=+； 又由()1fi=−知()0,10v=，所以有0C=，所以该解析函数为 ()2222.fzuivxyxyiz=+=−+= 其导数为: ()'2.fzz= 2.解： ()()22122112214.1zzzzdzizzizππ==−+=−+=−∫ 数学物理方法试卷第4页（共2页）()1122sinsinsin222sin1.111zzzzzzdziizzzππ==−=⎡⎤=+=⎢⎥−+−⎣⎦∫ ()()(3)142sin23sincos1.3!31zzzidzzizππ====−−∫ ()21sin40.56zzdzzz==++∫ 3.解: (1) ()()()121011111111111112112212112212nnnnzzzzzzz+∞+=−⎡⎤=−=−=+−⎢⎥−−−+−+−−⎣⎦∑ ()()22222220011112.1111nnnnzzzzzzz∞∞−−−=====−−∑∑ 4.解： ()13zi=为函数的一阶极点，故有()()3/232Res3(3)54izzieefizziπ+===+。 ()22z=为函数的本性奇点，且有()()33211cos22122!2zzzz⎛⎞=−+−+⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠L；从中易得该函数在2z=处的Laurent级数的负一次幂的展开系数即留数为 ()211123res2325.4!2!24fc−==−××=− ()3z=∞是该函数的可去奇点。易知该函数只有1z=一个有限远奇点且有()res11f=−，因而有()()resres11ff∞=−=。 ()41z=−是m阶极点，故其留数为()()()11211211res11.1!mmmmzmmdfzCmdz−+−=−−−==−− ()5zπ=为该函数的可去奇点，因而其留数为零。 5.解： 数学物理方法试卷第5页（共2页）()()()()()2212011211112cos11122res.1zzddzdzppizizppzpzzpifpipπθθππ−====−+−−−++=⋅=−∫∫∫ ()()()()4/43/444012,11112resres.1214iifzzdxdxifefexxππππ∞∞−∞=+⎡⎤==+=⎣⎦++∫∫令则有 ()()()()442/43/4244303,cos2Imresrescos.22imzmbiieFzzbmxdxFbeFbeembxbbππππ∞−=+⎡⎤=−+=⎣⎦+∫设则有 ()()()()()()2124,1sin1Imres02res.21izeFzzzxdxiFiFiexxππππ∞−−∞=+=+=−⎡⎤⎣⎦+∫设则有