数学物理方法第七章

第二篇数学物理方程1MathematicalEquationsforPhysics想要探索自然界的奥秘就得解微分方程——牛顿第七章数学物理方程定解问题§7.2定解条件§7.3数学物理方程的分类§7.1三类数学物理方程的导出§7.4达朗贝尔公式、定解问题数学物理思想数学物理方程:（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程．数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程数学物理方程:物理规律的数学表示物理规律物理量u在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。数学语言翻译数理方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。------泛定方程三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程扩散方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程2(,)ttxxuaufxt2uauFt2auF0F0u定解条件：边界条件、初始条件体现边界状态的数学方程称为边界条件边界问题---边界条件历史问题----初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件→不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的特殊性，即个性。7定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。---------数学物理定解问题，简称定解问题具体的问题的求解的一般过程：1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和初始条件——求解所必须用的3、求解方法——行波法、分离变量法、等分离变量法三类数学物理方程的一种最常用解法梯度矢量zkyjxi令数学补充)()(zkyjxizkyjxi222222zyx222222zyx有时记22222yx2222223zyx记22tuutt22xuuxxtuut222222zyx7.1数学物理方程的导出步骤：1、明确要研究的物理量是什么？从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用。2、研究物理量遵循哪些物理规律？3、按物理定律写出数理方程（泛定方程）。（一）均匀弦微小横振动方程弦的横振动设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动u(x,t):坐标为x的点在t时刻沿垂线方向的位移求：细弦上各点的振动规律12波动方程的导出选取不包括端点的一微元(x,x+dx),弦长dx研究对象:(4)设单位长度上弦受力，力密度为：(,)Fxt简化假设：(1)弦是柔软的(不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向(2)振幅极小,张力与水平方向的夹角1和2很小，仅考虑1和2的一阶小量，略去二阶小量(3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略。(,)(,)/fxtFxt质量线密度，u(x)u+uu01xx+dxF2T21T弦的原长：sx振动拉伸后：sxuxx22'()()du(x)u+uu012T2T1xx+dxBF弦长dx，质量线密度，B段的质量为m=dx沿x-方向，不出现平移2211coscos0TT沿垂直于x-轴方向2211sinsin(,)()ttTTFxtdxdxu12120,cos1.，，11sintanxxxuux22sintanxxxu受力分析和牛顿运动定律：15在微小振动近似下：由（1）式，弦中各点的张力相等u(x)u+uu012T2T1xx+xBF21TT（1）（2）(,)(,)xxdxxxxxttuuTFxtTuFxtudx2/aT波动方程：振动在弦上传播的速度极：波速a(,)(,)/fxtFxt(,)()xxdxxxttTuuFxtdxdxu（）受迫振动方程2(,)ttxxuaufxt单位质量所受外力，力密度令22ttdufmmudt牛顿运动定律：………一维波动方程程此方程称为自由振动方程变为，即没有外力作用，方）若,0-0,(2xxttuautxf二、均匀杆的纵振动将细杆分成许多段t时刻，B段两端的位移为),(),,(tdxxutxu),(),(txutdxxutduF)(xuxxdxx)(dxxuABCt时刻，B段伸长相对伸长dxtxutdxxu),(),(xu事实上，相对伸长是位置的函数，如xxudxxxu相对伸长由虎克定律，B两端的张应力（单位横截面的力）分别为xxudxxxuxxuYdxxxuYB段运动方程为22)(tuSdxxuYSxuYSxdxxttxxdxxxudxuuYF)(xuxxdxx)(dxxuABCB段运动方程为ttxxdxxxudxuuYttxuxuYttxxuYuYa202xxttuau记22)(tuSdxxuYSxuYSxdxx扩散方程扩散现象：系统的浓度u(x,y,z,t)不均匀时，将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移，叫扩散。扩散的起源：浓度不均匀，不均匀程度用浓度梯来表示：u扩散运动的强弱用扩散流强度来表示：q扩散流强度，即单位时间内流过单位面积的分子数或质量，与浓度u(单位体积内的粒子数）的下降成正比quDqD为扩散系数负号表扩散方向与浓度梯度相反)(kzujyuixuDqxuDqxyuDqyzuDqzdydzdtqxx方向左表面，dt时间流入六面体的流量为流出六面体的流量为dydzdtqdxxx),,(zyxxyzdxdydzdydzdtqdydzqdxxxxxdydzdtqqxxdxxx)(dxdydzdtxqx净流入量：dxdydzdtxuDx)(dxdydzdtyuDy)(dxdydzdtzuDz)(y方向净流入量为z方向净流入量为),,(zyxxyzdxdydz立方体净流入量为dxdydzdtzuDzdxdydzdtyuDydxdydzdtxuDx)()()(如立方体内无源和汇dt时间内粒子增加数为dxdydzuutdtt)(dxdydzduzyx,,dxdydzdttudxdydztudxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDx)()()(0)]}()()([{dxdydzzuDzyuDyxuDxtuD=恒量，令a2=D0)(2zzyyxxtuuuau02uaut02xxtuau一维扩散方程三维扩散方程2tuauFxyzt(,,,)26如果研究空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)无关，且为F(x,y,z)，即单位时间内单位体积中产生的粒子数为F(x,y,z),这时扩散方程修改为如果研究空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比，即F(x,y,z)=bu(x,y,z)这时扩散方程修改为22tuaubuxyzt(,,,)热传导方程由于温度的不均匀，热量总是从温度高的地方向温度低的地方传递。-----热传导研究对象：温度在空间的分布和在时间中的变化u(x,y,z,t)温度的不均匀程度：温度梯度表示u热传导的强弱：热流强度来表示。q为热传导系数由热传导定律kukq,-位面积的热量表示单位时间内通过单q3‘、热传导方程)],(),()[(txuttxuxAcQ0t设有一根恒截面为A的均匀细杆，沿杆长有温度差，其侧面绝热u(x,t)为x处t时刻温度，为杆密度xxx+x（1）、dt时间内引起小段x温度升高所需热量为txAucQtxxx+xnnxukqxAdtqxxx方向左表面，dt时间流入圆柱体的热量为dt时间流出圆柱体的热量为Adtqdxxxxxx+xAdtqAdtqdxxxxxdt时间净流入的热量为AdxdtxqxdxdtAucQtAdxdtkudxdtAucxxtAdxdtkuxxxukqx02xxtuaucka2泊松方程或拉普拉斯方程（稳定场方程）静电场的电势方程直角坐标系中泊松方程为0若空间无电荷，即电荷密度，上式成为称这个方程为拉普拉斯方程.电势V(x,y,z)确定所要研究的物理量：根据由物理规律电场、电势和电荷密度间有如下规律：VE/E()EV2/V20V建立泛定方程：V2V泊松方程7.2定解条件常微分方程定解问题回顾常微分方程求解就是积分。积分过程会出现积分常数。常微分方程定解问题就是确定积分常数。利用在自变量取一个特定值时的值，如初值u(t=0)确定积分常数。积分一次，出现一个积分常数；求解二阶常微分方程出现两个积分常数。数学物理方程的定解问题),,,(tzyxu要求给定：初始条件和边界条件32初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(,)|()tuMtMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件A、波动方程的初始条件00|()()ttuxuxt——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度（一）初始条件和是空间坐标的函数(,,)xyz(,,)xyz例：020222[,](,)()[,]thlxxluxthllxxll注意：初始条件给出系统在初始状态下物理量的分布，而不是一点处的情况。一根长为l的弦，两端固定于0和l。在中点位置将弦沿着横向拉开距离h，如图所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。lxl/2h解：初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有00(,)ttuxt初始位移（二）边界条件定义：系统的物理量始终在边界上具有的情况。A.第一类边界条件直接给出系统边界上物理量的函数形式。如：两端固定的弦振动00(,)xuxt0(,)xluxt和常见的线性边界条件分为三类：(,,,)(,)uxyztfMt细杆热传导0xlx0(,)xluxtu或随时间变化的温度(,)()xluxtft恒温B.第二类边界条件第一类边界条件的基本形式：000000,,(,,,)(,,,)xyzuxyztfxyzt边界细杆的纵振动：当端点“自由”，即无应力。根据胡克定律，杆的相对伸长也为零：0(,)xxluxt细杆热传导：端点绝热，热流强度为零，由热传导定律：0(,)xxluxt向导数值边界法外法线方向的方规定了所研究物理量在(,,,)(,)uxyztfMtnC.第三类边界条件细杆热传导：端点“自由”冷却(热流正比于温差)。牛顿冷却定律：()qhuTT为环境温度。nquT根据热传导定律，在x=l处：()nxlxlkuhuT0xlx负x方向nn正x方向00()xxxkuhuT()xxluHuT0()xxuHuT在x=0处nnqkunxqku000000,,()(,,,)边界xyzuuHfxyztn界的值向导数的线性组合在边规定了物理量及其外法细杆纵振动：端点与固定点弹性连接。应力为弹性力胡克定律：xfYSu弹性力：f